Übungen zum Staatsexamen: Analysis

gibt es zuerst nur online

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Wir werden typische Aufgabenstellungen beim Staatsexamen in Analysis behandeln, Lösungsmethoden besprechen und evtl. noch etwas zugrunde liegende Theorie wiederholen. Wir beginnen mit dem Themenbereich Funktionentheorie und arbeiten uns dann zu den Gewöhnlichen Differentialgleichungen durch.
Sobald die Lehre auch wieder in Präsenzform startet, werden wir

Donnerstag 8.30-10.00 Uhr in B 005

die Ernstfalltests besprechen und

Donnerstag 10-12 Uhr in B 005

ist der Versuch, von allen gängigen Typen zumindest eine Aufgabe zu rechnen.

Mittwoch 10-12 Uhr in B 005

werden wir zur Wiederholung und Beantwortung von Fragen nutzen.

Literatur:

• Amann: Gewöhnliche Differentialgleicchungen
• Aulbach: Gewöhnliche Differentialgleicchungen
• Bullach, Funk: Vorbereitungskurs Staatsexamen Mathematik
• Fischer, Lieb: Funktionentheorie
• Freitag, Busam: Funktionentheorie
• Herz: Repetitorium Funktionentheorie
• Remmert, Schuhmann: Funktionentheorie 1 und 2
• Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen

Download der Klausurangabe

Aufgabenstellung Klausur   Lösungsskizze
Aufgabenstellung Wiederholungsklausur   Lösungsskizze

Download der Übungsblätter

• Blatt 1
  
• Lösung Aufgabe 1   Lösung Aufgabe 2   Lösung Aufgabe 3 28.4.2020 Vorzeichenfehler auf Blatt 5 berichtigt und Kommentar zu den beiden Reihen ergänzt auf Blatt 6   Lösung Aufgabe 4
• Blatt 2
  
• Lösung Aufgabe 5   Lösung Aufgabe 6   Bemerkung   Lösung Aufgabe 7   Lösung Aufgabe 8 (A8 neue Version vom 6.5.)
• Blatt 3
  
• Lösung Aufgabe 9   Lösung Aufgabe 10   Lösung Aufgabe 11   Lösung Aufgabe 12
• Bemerkung Topologie
• Blatt 4
  
• Bemerkung Konvergenz   Lösung Aufgabe 13   Lösung Aufgabe 14   Lösung Aufgabe 15   Lösung Aufgabe 16
• Blatt 5
  
• Bemerkung Isolierte Singularitäten   Lösung Aufgabe 17   Lösung Aufgabe 18   Lösung Aufgabe 19   Lösung Aufgabe 20
• Blatt 6
  
• Bemerkung Residuensatz, Stammfunktion   Lösung Aufgabe 21   Lösung Aufgabe 22   Lösung Aufgabe 23   Lösung Aufgabe 24
• Blatt 7
  
• Lösung Aufgabe 25   Lösung Aufgabe 26   Lösung Aufgabe 27   Lösung Aufgabe 28
• Blatt 8
  
• Bemerkung Wurzel   Lösung Aufgabe 29   Lösung Aufgabe 30   Lösung Aufgabe 31   Lösung Aufgabe 32
• Blatt 9
• Bemerkung Biholomorphe Funktionen   Lösung Aufgabe 33   Lösung Aufgabe 34   Lösung Aufgabe 35   Lösung Aufgabe 36
• Blatt 10
• Lösung Aufgabe 37   Lösung Aufgabe 38   Lösung Aufgabe 39   Lösung Aufgabe 40
• Blatt 11
• Lösung Aufgabe 41   Lösung Aufgabe 42   Lösung Aufgabe 43   Lösung Aufgabe 44
• Blatt 12
• Lösung Aufgabe 45   Lösung Aufgabe 46   Lösung Aufgabe 47   Lösung Aufgabe 48
• Blatt 13
• Lösung Aufgabe 49   Lösung Aufgabe 50   Lösung Aufgabe 51   Lösung Aufgabe 52
• Blatt 14
• Lösung Aufgabe 53   Lösung Aufgabe 54   Lösung Aufgabe 55   Lösung Aufgabe 56
• die restlichen Aufgaben vom Frühjahr: F20T1A1   F20T1A4   F20T2A2   F20T2A3   F20T3A2   F20T3A3   F20T3A4   F20T3A5

Download der Ernstfalltests

• Blatt 1   Blatt 1, Quelltext   Lösung Blatt 1
• Die beiden ersten Blätter (Übung und Ermstfalltest) befassen sich mit den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen, der Entwicklung von holomorphen Funktionen in Potenzreihen, dem Identitätssatz für holomorhe Funktionen. In Kapitel 5 vom Differentialgleichungs- und Funktionentheorieskript und dort speziell in Kapitel 5.4 oder in Kapitel 17 findet man da einiges zu den Grundlagen. Wer dabei eine gewisse Schwäche mit Potenzreihen spürt konsultiere noch mal das Kapitel über Reihen
• Blatt 2   Blatt 2, Quelltext   Lösung Blatt 2
• Bei den zweiten Blättern geht es um eine Vertiefung der Anwendungen des Identitätssatzes und des Satzes von Liouville siehe etwa in Kapitel 19.6 , die Bemerkung gibt ein paar Hinweise zur Umlaufzahl, siehe in Kapitel 19.2 und den Voraussetzungen bei der Cauchy-Integralformel, siehe in Kapitel 19.1 und 19.7
• Blatt 3   Blatt 3, Quelltext   Lösung Blatt 3 15.6. neue Version, die Fehler auf Seite 2 berichtigt
• Bei den dritten Blättern kommt neben weiterer Wiederholung der Satz von der Gebietstreue, siehe in Kapitel 19.5 dazu.
• Blatt 4   Blatt 4, Quelltext   Lösung Blatt 4
• Bei den vierten Blättern geht es um die Konvergenz von Funktionenfolgen und Reihen, siehe in Kapitel 13.3 , um das Weierstraßsche Majorantenkriterium zum Nachweis lokal gleichmäßiger Konvergenz und die Konsequenzen lokal gleichmäßiger Konvergenz bei holomorphen Funktionen, siehe in Kapitel 19.8
• Blatt 5   Blatt 5, Quelltext   Lösung Blatt 5 15.6. neue Version, die Fehler auf Seite 7 berichtigt
• Bei den fünften Blättern geht es um die Laurentreihenentwicklung holomorpher Funktionen um isolierte Singularitäten und die Charakterisierung der verschiedenen Typen von isolierter Singularitäten, siehe Kapitel 22.1
• Blatt 6   Blatt 6, Quelltext   Lösung Blatt 6
• Bei den sechsten Blättern geht es um isolierte Singularitäten, siehe Kapitel 22.1 , Residuensatz siehe Kapitel 22.2 und die Existenz von Stammfunktionen Kapitel 19.4
• Blatt 7   Blatt 7, Quelltext   Lösung Blatt 7
• Bei den siebten Blättern geht es um verschiedene Anwendungen des Residuensatzes
• Blatt 8   Blatt 8, Quelltext   Lösung Blatt 8
• Blatt 9   Blatt 9, Quelltext   Lösung Blatt 9
• In den neunten Blättern geht es um biholomorphe Abbildungen; Kapitel 9.3 insbesondere um Möbiustransformationen Kapitel 9.5
• Blatt 10   Blatt 10, Quelltext   Lösung Blatt 10
• In den zehnten Blättern geht es noch mal um biholomorphe Abbildungen und nun insbesondere, wie man die biholomorphen Abbildungen des Einheitskreises in sich, siehe Kapitel 11.1 und den Riemannschen Abbildungssatz, siehe Kapitel 11.2 nutzen kann, um biholomrphe Abbildungen mit geforderten Eigenschaften anzugeben.
• Blatt 11   Blatt 11, Quelltext   Lösung Blatt 11
• In den elften Blättern geht es um verschiedene Methoden aus der rellen Analysis, wie Transformationssatz zur Berechnung von Integralen, siehe Kapitel 15.8 , Extrema unter Nebenbedingungen, siehe Kapitel 16.1 , Kriterien für Differenzierbarkeit
• Blatt 12   Blatt 12, Quelltext   Lösung Blatt 12
• In den zwölften Blättern geht es um Lösungsmethoden für Anfangswertprobleme, wie etwa in Kapitel 18.2 und 18.3 mit Trennen der Variablen und exakten Differentialgleichungen. Ferner um den Existenz- und Eindeutigkeitssatz, die Identifikation maximaler Lösungen, siehe Kapitel 20.4
• Blatt 13   Blatt 13, Quelltext   Lösung Blatt 13
• In den dreizehnten Blättern geht es um das Lösen von linearen Differentialgleichungen. Neben der Lösungsformel für lineare skalare Differentialgleichungen, siehe Beispiel 18.2.7 ist das ganze Kapitel Lineare Differentialgleichungen relevant.
• Blatt 14   Blatt 14, Quelltext   Lösung Blatt 14