\documentclass[12pt,a4paper,onesided,fleqn]{article}

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 % Einstellungen

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 % Neue Kommandos

 
 \newcommand {\C}{\mathbb{C}}
 \newcommand {\N}{\mathbb{N}}
 \newcommand {\Z}{\mathbb{Z}}
 \newcommand {\Q}{\mathbb{Q}}
 \newcommand {\R}{\mathbb{R}}
 

 \newcommand {\cA}{\mathcal{A}}
 \newcommand {\cB}{\mathcal{B}}
 \newcommand {\cD}{\mathcal{D}}
 \newcommand {\cE}{\mathcal{E}}
 \newcommand {\cF}{\mathcal{F}}
 \newcommand {\cG}{\mathcal{G}}
 \newcommand {\cI}{\mathcal{I}}
 \newcommand {\cJ}{\mathcal{J}}
 \newcommand {\cL}{\mathcal{L}}
 \newcommand {\cP}{\mathcal{P}}
 \newcommand {\cM}{\mathcal{M}}
 \newcommand {\cN}{\mathcal{N}}
 \newcommand {\cK}{\mathcal{K}}
 \newcommand {\cR}{\mathcal{R}}
 \newcommand {\cS}{\mathcal{S}}
 \newcommand {\cO}{\mathcal{O}}
 \newcommand {\cU}{\mathcal{U}}
 \newcommand {\cV}{\mathcal{V}}
 \newcommand {\cH}{\mathcal{H}}
 \newcommand {\cC}{\mathcal{C}}
 \newcommand {\cZ}{\mathcal{Z}}
 %
\newcommand{\fa}{\qquad \forall \quad}
 \newcommand{\eps}{\varepsilon}
 \newcommand{\im}{{\rm Im}\,}
 \newcommand{\re}{{\rm Re}\,}


 \newcommand{\be}{\begin{equation}}
 \newcommand{\ee}{\end{equation}}
 \newcommand{\bea}{\begin{eqnarray}}
 \newcommand{\eea}{\end{eqnarray}}
 \newcommand{\beao}{\begin{eqnarray*}}
 \newcommand{\eeao}{\end{eqnarray*}}
 \newcommand{\nn}{\nonumber}
 \newcommand{\ds}{\displaystyle}
 \newcommand{\ol}{\overline}
 \newcommand{\ul}{\underline}
%
 %
 % mit % beginnt eine Zeile mit einem Kommentar
 % die oberen Zeilen nicht ändern
 % mit einem \ beginnt ein LATEX Befehl
 % mathematische Formeln beginnen mit einem $ Zeichen und enden damit;
 % soll es eine abgesetzte Formel sein, beginnt diese mit \[ und endet mit \]
 % griechische Buchstaben sind zB. durch $\alpha$ zu bekommen...
 % Indizes beginnen im Mathematikmodus mit _ Exponenten mit ^
 % längere Ausdrücke muß man mit { } einschließen, also zB. $10^{100}$
 % wenn der Exponent länger ist...
 % dann kann es unten losgehen...
 
\begin{document}
\noindent Mathematisches Institut der Universit\"at M\"unchen 
\hspace{5cm} 30.4.2020\\
\begin{center}
{\Large \bf {Ernstfalltest zum Staatsexamen: Analysis}  }
 \end{center}
%
    {\bf Aufgabe 4:} (H10T3A1) \\
    Sei $f$ eine in einer Umgebung von $\ol{D_2}:=\{z \in \C: |z| \leq 2\}$ 
definierte holomorphe Funktion mit $|f(z)| \leq 1$ f\"ur alle $z \in \ol{D_2}$.
Zeigen Sie: F\"ur alle $z \in \C$ mit $|z| \leq 1$ gilt: $|f''(z)| \leq 4$. \\
Hinweis: Cauchy-Integralformel
\\[0.3cm]   
  {\bf Aufgabe 5:} (F11T2A1) \\
  Geben Sie jeweils alle holomorphen Funktionen $f: \C \to \C$ mit den
angegebenen Eigenschaften an und begr\"unden Sie jeweils, da{\ss} es \"uber
die von Ihnen angegebenen Funktionen hinaus keine weiteren mit diesen
Eigenschaften gibt.
\begin{enumerate}
\item[a)] $f'(z)=zf(z)$ f\"ur alle $z \in \C$ und $f(0)=1$.
\item[b)] $f(f(z))=z$ f\"ur alle $z \in \C$, $f(0)=0$ und $f'(0)=1$.
\end{enumerate}
    {\bf Aufgabe 6:} (F12T1A2) \\
    Drei Fragen zur Funktionentheorie:
\begin{enumerate}
\item[a)] Gibt es eine holomorphe Funktion
$f: \{z \in \C: |z| < 2 \}  \to  \C$, so da{\ss} $f(\frac{1}{2})=2$ ist 
und $|f(z)|=1$ f\"ur alle $z \in \C$ mit $|z|=1$ gilt?
\item[b)] Gibt es eine holomorphe Funktion $g: \C \to \C$, so da{\ss} 
f\"ur alle $x+iy \in \C$ gilt: $(\im g)(x+iy)=x^2-y^2$ ?
\item[c)] Gibt es eine offene Umgebung $U \subseteq \C$ von $0$ und eine
holomorphe Funktion \linebreak 
$h:U \to \C$, so da{\ss} f\"ur alle $n \in \N_0$ gilt: $h^{(n)}(0)=(-1)^n (2n)!$
\end{enumerate}
%
\end{document}
