\documentclass[12pt,a4paper,onesided,fleqn]{article}

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 % Einstellungen

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 % Neue Kommandos

 \newcommand{\fa}{\qquad \forall \quad}
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 \newcommand{\re}{{\rm Re}\,}
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 \newcommand{\esubset}{{\subset \atop \not=}}


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 \newcommand{\eea}{\end{eqnarray}}
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 \newcommand{\eeao}{\end{eqnarray*}}
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\newcommand{\falls}{\text{ falls }}
\newcommand{\gilt}{\text{ gilt: }}
\newcommand{\und}{\text{ und }}
\newcommand{\oder}{\text{ oder }}
\newcommand{\Var}{\text{Var}}
\newcommand{\Aut}{\mathrm{Aut}}
\renewcommand{\mit}{\text{ mit }}


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\newcommand{\rkl}{\rangle}
\newcommand{\lkl}{\langle}
\newcommand{\etm}{\subsetneq}
%{\, {\stackrel {\scriptstyle \subset} {\scriptscriptstyle \not=}} \,}
 % Umgebung fuer Saetze

% \newtheorem{satz}{Satz}[section]
% \newtheorem{lemma}[satz]{Lemma}
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% \theoremstyle{definition} 
% \newtheorem{beispiel}[satz]{Beispiel}
% \newtheorem{bemerkung}[satz]{Bemerkung}
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% \newtheorem{beispiel*}[satz]{Beispiel$^*$}
% \newtheorem{beispielz}{Beispiel$^\#$}

 
%\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}} 

% 
\begin{document}
\noindent Mathematisches Institut der Universit\"at M\"unchen 
\hspace{5cm} 20.5.2020\\
\begin{center}
{\Large \bf {Ernstfalltest zum Staatsexamen: Analysis}  }
\end{center}
{\bf Aufgabe 13: }(F14T1A4) \\
Es sei $G \subseteq \C$ ein beschr\"anktes Gebiet und $f:G \to \C$
eine Funktion, die bei Ann\"aherung an $\partial G$ gegen $\infty$ strebt, 
dh. f\"ur jede Folge $(z_n)_{n \in \N}$ in $G$ mit 
$z_n \stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow} z \in \partial G$
gilt \linebreak
$|f(z_n)| \stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow}~\infty$. Zeigen Sie,
da{\ss} $f$ nicht holomorph ist, indem Sie die folgenden F\"alle
unterscheiden:
\begin{enumerate}
\item[(i)] $f$ hat keine Nullstelle in $G$.
\item[(ii)] $f$ hat endlich viele Nullstellen in $G$.
\item[(iii)] $f$ hat unendlich viele Nullstellen in $G$.
\end{enumerate}
%
{\bf Aufgabe 14:} (F10T3A5)
F\"ur die Funktion $f(z)=\ds \frac{2}{z(z^2+1)}$
bestimme man die Laurentreihen in den Bereichen
\beao A_1&:=& \{z \in \C: 0 < |z| < \frac{1}{2} \} \\
A_2&:=&\{z \in \C: 0 < |z-i|<1\} \\
A_3&:=&\{z \in \C:2 < |z-i|~<3\} \eeao
 und berechne l\"angs
$\begin{array}[t]{rcl} \alpha: [0,2\pi] & \to & \C \\
t & \mapsto & \frac{1}{2} e^{it} \end{array}$ und
$\begin{array}[t]{rcl} \beta: [0,2\pi] & \to & \C \\
t & \mapsto & 4e^{4it} \end{array}$ die Wegintegrale
$\ds \int\limits_{\alpha} f(z) dz$ und $\ds \int\limits_{\beta} f(z) dz$.
%
 \\
{\bf Aufgabe 15:} (H11T2A3)
\begin{enumerate}
\item[a)] Sei $h$ in einer Umgebung von $z_0 \in \C$ holomorph mit
$h(z_0) \not = 0$ und sei eine meromorphe Funktion $F$ durch 
$F(z)=\frac{h(z)}{(z-z_0)^3}$ gegeben. Berechnen Sie das Residuum von $F$ in
$z_0$.
\item[b)]  Klassifizieren Sie f\"ur die Funktionen
\[ f(z) = \frac{1}{(1+z^2)^3} \quad \und \quad g(z)= \exp( \exp (-\frac{1}{z}))
\]
alle isolierten Singularit\"aten in $\C$.
\item[c)] Berechnen Sie mit der Funktion $f$ aus (b) das Integral
\[ \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x) dx .\]
\end{enumerate}
%
\end{document}