\documentclass[12pt,a4paper,onesided,fleqn]{article}

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 % Einstellungen

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 % Neue Kommandos

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 \newcommand{\eeao}{\end{eqnarray*}}
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\newcommand{\rkl}{\rangle}
\newcommand{\lkl}{\langle}
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%{\, {\stackrel {\scriptstyle \subset} {\scriptscriptstyle \not=}} \,}
 % Umgebung fuer Saetze

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% \newtheorem{beispiel*}[satz]{Beispiel$^*$}
% \newtheorem{beispielz}{Beispiel$^\#$}

 
%\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}} 

% 
\begin{document}
\noindent Mathematisches Institut der Universit\"at M\"unchen 
\hspace{5cm} 23.7.2020\\
\begin{center}
{\Large \bf {Ernstfalltest zum Staatsexamen: Analysis}  }
\end{center}
{\bf Aufgabe 40:} (F20T2A1) \\
Gegeben seien zwei reelle Zahlenfolgen $(a_n)_{n \in \N}$, $(b_n)_{n \in \N}$.
Weiter sei $b \in \R$.
\begin{enumerate}
\item[a)] Sei $\ds \lim_{n \to \infty} b_n=b$. Zeigen Sie mit Hilfe der
  Definition f\"ur die Konvergenz einer reellen Zahlenfolge, da{\ss} die
  Folge $(b_n)_{n \in \N}$ beschr\"ankt ist.  
\item[b)] Es sei $\ds \left( \sum_{k=1}^n a_k \right)_{n \in \N}$ absolut
  konvergent und $\ds \lim_{n \to \infty} b_n=b$. Zeigen Sie, da{\ss} die
  Reihe $\ds \left( \sum_{k=1}^n a_k b_k \right)_{n \in \N}$ ebenfalls
  absolut konvergiert.  
\item[c)] Sei nun $\ds \left( \sum_{k=1}^n a_k \right)_{n \in \N}$ konvergent
  und $\ds \lim_{n \to \infty} b_n=0$. Beweisen oder widerlegen Sie, da{\ss}
  dann die Reihe $\ds \left( \sum_{k=1}^n a_k b_k \right)_{n \in \N}$ ebenfalls
  konvergiert.  
\end{enumerate}
%
{\bf Aufgabe 41:} (F20T1A3)
\begin{enumerate}
\item[a)] Bestimmen Sie alle L\"osungen der folgenden Differentialgleichung
zweiter Ordnung:
\[ x''-x = e^t \]
\item[b)] Die Funktionen $\varphi_1, \varphi_2,\varphi_3: \R \to \R$ sind
gegeben durch
$\varphi_1(t):=1$, $\varphi_2(t):=t$ und $\varphi_3(t):=t^2$ f\"ur alle
$t \in \R$. \"Uber eine lineare inhomogene Differentialgleichung zweiter
Ordnung ist bekannt, da{\ss} $\varphi_1$, $\varphi_2$ und $\varphi_3$
L\"osungen sind. Geben Sie die Menge aller L\"osungen dieser
Differentialgleichung an. Die Differentialgleichung selbst brauchen Sie
dabei nicht zu bestimmen.
\end{enumerate}
{\bf Aufgabe 42:} (F20T2A5) \\
Untersuchen Sie f\"ur jeden Parameterwert $a \in\R$ die
Stabilit\"atseigenschaften der Ruhelage $x_1=0$, $x_2=0$ des
Differentialgleichungssystems
\[ \begin{array}{rcl}
\dot{x}_1 &=& ax_1 + x_2 + (a+1) x_1^2 \\
\dot{x}_2 &=& x_1 + ax_2 \end{array}. \]
\end{document}

