\documentclass[12pt,a4paper,onesided,fleqn]{article}

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 % Einstellungen

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 % Neue Kommandos

 
 \newcommand {\C}{\mathbb{C}}
 \newcommand {\N}{\mathbb{N}}
 \newcommand {\Z}{\mathbb{Z}}
 \newcommand {\Q}{\mathbb{Q}}
 \newcommand {\R}{\mathbb{R}}
 

 \newcommand {\cA}{\mathcal{A}}
 \newcommand {\cB}{\mathcal{B}}
 \newcommand {\cD}{\mathcal{D}}
 \newcommand {\cE}{\mathcal{E}}
 \newcommand {\cF}{\mathcal{F}}
 \newcommand {\cG}{\mathcal{G}}
 \newcommand {\cI}{\mathcal{I}}
 \newcommand {\cJ}{\mathcal{J}}
 \newcommand {\cL}{\mathcal{L}}
 \newcommand {\cP}{\mathcal{P}}
 \newcommand {\cM}{\mathcal{M}}
 \newcommand {\cN}{\mathcal{N}}
 \newcommand {\cK}{\mathcal{K}}
 \newcommand {\cR}{\mathcal{R}}
 \newcommand {\cS}{\mathcal{S}}
 \newcommand {\cO}{\mathcal{O}}
 \newcommand {\cU}{\mathcal{U}}
 \newcommand {\cV}{\mathcal{V}}
 \newcommand {\cH}{\mathcal{H}}
 \newcommand {\cC}{\mathcal{C}}
 \newcommand {\cZ}{\mathcal{Z}}
 %
\newcommand{\fa}{\qquad \forall \quad}
 \newcommand{\eps}{\varepsilon}
 \newcommand{\im}{{\rm Im}\,}
 \newcommand{\re}{{\rm Re}\,}


 \newcommand{\be}{\begin{equation}}
 \newcommand{\ee}{\end{equation}}
 \newcommand{\bea}{\begin{eqnarray}}
 \newcommand{\eea}{\end{eqnarray}}
 \newcommand{\beao}{\begin{eqnarray*}}
 \newcommand{\eeao}{\end{eqnarray*}}
 \newcommand{\nn}{\nonumber}
 \newcommand{\ds}{\displaystyle}
 \newcommand{\ol}{\overline}
 \newcommand{\ul}{\underline}
%
 %
 % mit % beginnt eine Zeile mit einem Kommentar
 % die oberen Zeilen nicht ändern
 % mit einem \ beginnt ein LATEX Befehl
 % mathematische Formeln beginnen mit einem $ Zeichen und enden damit;
 % soll es eine abgesetzte Formel sein, beginnt diese mit \[ und endet mit \]
 % griechische Buchstaben sind zB. durch $\alpha$ zu bekommen...
 % Indizes beginnen im Mathematikmodus mit _ Exponenten mit ^
 % längere Ausdrücke muß man mit { } einschließen, also zB. $10^{100}$
 % wenn der Exponent länger ist...
 % dann kann es unten losgehen...
 
\begin{document}
\noindent Mathematisches Institut der Universit\"at M\"unchen 
\hspace{5cm} 23.4.2020\\
\begin{center}
{\Large \bf {Ernstfalltest zum Staatsexamen: Analysis}  }
 \end{center}
{\bf Aufgabe 1:} (F08T3A3) \\
Die Funktion $f: \C \backslash \Z \to \C$ sei holomorph und es gelte
$|f(z)| \geq |e^z|$ f\"ur alle $z \in \C \backslash \Z$. Man zeige, da{\ss}
$f$ in allen Punkten aus $\Z$ holomorph erg\"anzbar ist und da{\ss}
$f(z)=C e^z$ mit einer Konstanten $C$ gilt.
\\[0.2cm]
{\bf Aufgabe 2: }(F06T2A3) \\
Bestimmen Sie alle holomorphen Funktionen $f: \C \to \C$, die
$f(e^{\sqrt{2} \pi i n})=1$ f\"ur alle $n \in \N$ erf\"ullen.
\\[0.2cm]
{\bf Aufgabe 3: }(H17T1A1) \\
\begin{enumerate}
\item[a)] Ist die Menge $A:=\{z \in \C: |z|+\re(z) \leq 1\}$ abgeschlossen in
$\C$? Falls ja, bestimmen Sie, ob $A$ kompakt ist.
\item[b)] Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Reihe
\[ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{n-1}{n}\right)^{5n^2} z^n \]
\item[c)] Sei $\Omega \subseteq \C$ offen. Es seien $C^1-$Funktionen
$u: \Omega \to \R$ und $v: \Omega \to \R$ gegeben, die die
Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erf\"ullen. Bestimmen Sie, ob
die Funktionen $g(x,y):=e^{u(x,y)} \cos(v(x,y))$ und 
$h(x,y)=e^{u(x,y)} \sin(v(x,y))$ f\"ur $x+iy \in \Omega$ die Cauchy-Riemannschen
Differentialgleichungen erf\"ullen oder nicht.
\end{enumerate}

\end{document}
