\documentclass[12pt,a4paper,onesided,fleqn]{article}

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 % Einstellungen

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 % Neue Kommandos

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\renewcommand{\mit}{\text{ mit }}


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\newcommand{\lkl}{\langle}
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%{\, {\stackrel {\scriptstyle \subset} {\scriptscriptstyle \not=}} \,}
 % Umgebung fuer Saetze

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% \newtheorem{beispielz}{Beispiel$^\#$}

 
%\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}} 

% 
\begin{document}
\noindent Mathematisches Institut der Universit\"at M\"unchen 
\hspace{5cm} 10.6.2020\\
\begin{center}
{\Large \bf {Ernstfalltest zum Staatsexamen: Analysis}  }
\end{center}
{\bf Aufgabe 22:} (F08T2A4)
Berechnen Sie die Integrale
\begin{enumerate}
\item[a)] $\ds \int\limits_0^{2\pi} \frac{2+\cos(3\theta)}{2+\cos(\theta)} 
d\theta$
\item[b)] $\ds \int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^4} dx $
\end{enumerate}
{\bf Aufgabe 23:} (H18T2A3)
\begin{enumerate}
\item[a)] Die Zahl $a \in \R$ erf\"ullt $a >1$. Zeigen Sie, da{\ss} die
Gleichung
\[ ze^{a-z}=1 \]
genau eine L\"osung $z \in \C$ mit $|z|<1$ besitzt und diese L\"osung
reell und Positiv ist.
\item[b)] Zeigen Sie, da{\ss} gilt:
\[ \int\limits_0^{\pi} \frac{1}{3+2\cos(\theta)} d\theta = \frac{\pi}{\sqrt{5}}
\]
\end{enumerate}
{\bf Aufgabe 24:} (F19T2A2)
Es sei $\mathbb{E}:=\{z \in \mathbb{C}: |z| < 1\}$ und 
$\begin{array}[t]{rcl} f: \mathbb{C} & \to & \mathbb{C} \\ 
z & \mapsto & 4z+z^2+e^z \end{array}$.
\begin{enumerate}
\item[a)] Zeigen Sie, da{\ss} $f$ in $\{z \in \mathbb{C}: |z| \leq 1\}$ 
genau eine einfache Nullstelle besitzt.
\item[b)] Zeigen Sie, da{\ss} es f\"ur 
$f|_{\mathbb{E}}: \mathbb{E} \to \mathbb{C}$ keinen 
holomorphen Logarithmuszweig
-- also kein holomorphes $l: \mathbb{E} \to \mathbb{C}$ mit $e^{l(z)}=f(z)$ 
f\"ur alle $z \in \mathbb{E}$ -- gibt.
\item[c)] Zeigen Sie, da{\ss} es f\"ur $f|_{\mathbb{E}}$ keinen holomorphen Zweig 
der dritten Wurzel -- also kein holomorphes $w: \mathbb{E} \to \mathbb{C}$ 
mit $(w(z))^3=f(z)$ f\"ur alle $z \in \mathbb{E}$ -- gibt.
\end{enumerate}
%
\end{document}