\documentclass[12pt,a4paper,onesided,fleqn]{article}

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 % Einstellungen

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 % Neue Kommandos

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\newcommand{\lkl}{\langle}
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%{\, {\stackrel {\scriptstyle \subset} {\scriptscriptstyle \not=}} \,}
 % Umgebung fuer Saetze

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%\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}} 

% 
\begin{document}
\noindent Mathematisches Institut der Universit\"at M\"unchen 
\hspace{5cm} 28.5.2020\\
\begin{center}
{\Large \bf {Ernstfalltest zum Staatsexamen: Analysis}  }
\end{center}
{\bf Aufgabe 16:} (F03T3A2)
\begin{enumerate}
\item[a)] Sei $f: \C \backslash \{0\} \to \C$ holomorph mit
$|f(z)| \leq 1+\frac{1}{|z|^2}$ f\"ur alle $z \in \C \backslash \{0\}$.
Zeigen Sie, da{\ss} $f$ dann die Form 
$f(z)=a+\frac{b}{z}+\frac{c}{z^2}$ f\"ur $z \in \C \backslash \{0\}$ mit
geeigneten Konstanten $a,b,c \in \C$ hat.
\item[b)] Es seien $f: \C \backslash \{0\} \to \C$ und 
$g:\C \backslash \{0\} \to \C$ holomorph, wobei $g$ in $0$ einen Pol der
Ordnung $k>0$ habe. Es gelte $f(\frac{1}{n})=g(\frac{1}{n})$ f\"ur alle 
$n \in \N$. Zeigen Sie, da{\ss} dann $f=g$ ist oder $f$ in $0$ eine
wesentliche Singularit\"at hat.
\end{enumerate}
{\bf Aufgabe 17:} (F11T1A4)
Gegeben sei die Funktion $\begin{array}[t]{rcl} f: D & \to & \C \\
z & \mapsto & \ds \frac{1}{z^2+2z+2} \end{array}$ mit maximaler Definitionsmenge
$D \subseteq \C$.
\begin{enumerate}
\item[a)] Zeigen Sie, da{\ss} das Integral der Funktion $f$ \"uber die
positiv orientierte Kreislinie um $0$ mit Radius $3$ verschwindet.
\item[b)] Zeigen Sie mit oder ohne Hilfe von (a), da{\ss} $f$ auf
$\{z \in \C: |z| >2\}$ eine komplexe Stammfunktion hat. (Diese braucht nicht
unbedingt ausgerechnet zu werden.)
\end{enumerate}
{\bf Aufgabe 18:} (F04T3A1)
Es sei $f: \C \backslash \{0\} \to \C$ holomorph und erf\"ulle
\[ f(\frac{1}{n}) = (-1)^n \frac{1}{n} \quad {\text{f\"ur alle }} n \in \N \]
\begin{enumerate}
\item[a)] Beweisen Sie, da{\ss} $f$ in $0$ weder eine hebbare Singularit\"at
noch eine Polstelle haben kann.
\item[b)] Geben Sie konkret eine in $\C \backslash \{0\}$ holomorphe 
Funktion mit dieser Eigenschaft an.
\end{enumerate}
\end{document}