\documentclass[12pt,a4paper,onesided,fleqn]{article}

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 % Einstellungen

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 % Neue Kommandos

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\renewcommand{\mit}{\text{ mit }}


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\newcommand{\lkl}{\langle}
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%{\, {\stackrel {\scriptstyle \subset} {\scriptscriptstyle \not=}} \,}
 % Umgebung fuer Saetze

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% \newtheorem{beispielz}{Beispiel$^\#$}

 
%\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}} 

% 
\begin{document}
\noindent Mathematisches Institut der Universit\"at M\"unchen 
\hspace{5cm} 7.5.2020\\
\begin{center}
{\Large \bf {Ernstfalltest zum Staatsexamen: Analysis}  }
 \end{center}
    {\bf Aufgabe 7:} (H10T2A2) \\
    Es sei $\bE:=\{z \in \C: |z| < 1\}$ die offene Einheitskreisscheibe
und $f: \bE \to \C$ eine holomorphe Funktion f\"ur die $|f(0)| < 1$ und 
$|f(z)| \leq 1$ f\"ur alle $z \in \bE$ gilt. Man zeige, da{\ss} dann sogar
$|f(z)| < 1$ f\"ur alle $z \in \bE$ gelten mu{\ss}.
\\[0.3cm]   
{\bf Aufgabe 8:} (F19T3A1) \\
Sei $n \geq 1$ eine nat\"urliche Zahl.
\begin{enumerate}
\item[a)] Bestimmen Sie f\"ur die Funktion $f: \C \to \C$ mit
$f(z)=z^n-1$ f\"ur alle $z \in \C$ alle Nullstellen mit strikt 
positivem Realteil.
\item[b)] Sei $z \in \C$ eine der Nullstellen mit $\re(z)>0$ aus 
Teilaufgabe (a). Zeigen Sie, da{\ss} $w=z+z^{n-1}$ eine reelle Zahl echt 
gr\"o{\ss}er Null ist.
\item[c)] Sei $n=5$ und $w>0$ eine der positiven reellen Zahlen aus
Teilaufgabe (a). Nehmen Sie $w \not=2$ an und zeigen Sie, da{\ss}
\[ w^2+w-1=0\]
gilt. Bestimmen Sie den Winkel $\alpha \in ]0,\pi[$ mit $w=2\cos(\alpha)$.
\end{enumerate}
{\bf Aufgabe 9:} (H06T2A2)
    Drei Fragen zur Funktionentheorie:
\begin{enumerate}
\item[a)] Hat jede holomorphe Funktion eine Stammfunktion?
\item[b)] Wo konvergiert die Laurentreihe $\ds \sum_{n=-\infty}^{\infty} z^n$?
\item[c)] Nimmt die komplexe Sinusfunktion jeden Wert an?
\end{enumerate}
\end{document}