Vorlesung: Analysis einer Variablen (Ana1) (WiSe 2023/24)

Vorlesung:
Mo 10--12 & Do 10--12 in C 123.   LSF

Ãœbungen:
Siehe separate Webseite (Moodle).   LSF

Tutorien:
Siehe separate Webseite (Moodle).

Kurzbeschreibung:
Die Analysis (griechisch: Auflösung) ist ein zentrales Teilgebiet der Mathematik, das die Differential- und Integralrechnung umfasst. Ihre Ursprünge gehen auf Newton und Leibniz zurück. Charakteristisch für die Analysis ist der Begriff des Grenzwertes, allgemeiner der Approximierbarkeit eines Objekts durch andere Objekte. Im Rahmen dieser Vorlesung beschäftigen wir uns mit

Zahlen
Folgen und Grenzwerten
Reihen
elementaren Funktionen
Differentialrechnung einer Veränderlichen
Integralrechnung einer Veränderlichen


Hörerkreis:
Studierende im 1. Semester mit Studienfach Mathematik (Bachelor) oder Wirtschaftsmathematik (Bachelor).

Vorkenntnisse:
Schulmathematik.

Inhalt:       Skript

1. Grundlagen   PDF

   1.1. Aussagenlogik   PDF
   1.2. Mengen, Relationen, Funktionen   PDF
   

2. Aufbau des Zahlensystems   PDF

   2.1. Natürliche Zahlen   PDF
   2.2. Ganze Zahlen   PDF
   2.3. Rationale Zahlen   PDF
   2.4. Endliche Summen   PDF
   2.5. Folgen, Grenzwerte, Reihen   PDF
   2.6. Reelle Zahlen   PDF
   2.7. Komplexe Zahlen   PDF
   2.8. Mächtigkeit von Mengen   PDF
   

3. Stetige Funktionen   PDF

   3.1. Funktionen von und nach R oder C   PDF
   3.2. Limes einer Funktion   PDF
   3.3. Stetigkeit   PDF
   3.4. Eigenschaften stetiger Funktionen   PDF
   3.5. Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen   PDF
   

4. Potenzreihen und elementare Funktionen   PDF

   4.1. Reihen (2. Teil)   PDF
   4.2. Potenzreihen   PDF
   4.3. Exponentialfunktion   PDF
   4.4. Trigonometrische Funktionen, die Zahl pi und Polardarstellung komplexer Zahlen   PDF
   4.5. Logarithmus und allgemeine Potenz   PDF
   

5. Differenzieren von Funktionen auf R   PDF

   5.1. Ableitung   PDF
   5.2. Ableitungsregeln   PDF
   5.3. Eigenschaften differenzierbarer Funktionen   PDF
   

6. Integrieren von Funktionen auf R   PDF

   6.1. Riemann-integrierbare Funktionen   PDF
   6.2. Eigenschaften des Riemannn-Integrals   PDF
   

Ergänzende Literatur:
Standardlehrbücher zur Analysis unterscheiden sich etwas in Stoffauswahl und Aufbau von dieser Vorlesung. Sie sind deshalb nicht als Skript, sondern nur als Zusatzliteratur geeignet.

• Ebbinghaus et al, Zahlen, Springer (1983).
• Landau, Grundlagen der Analysis, Akademische Verlagsgesellschaft (1930).
• Ebbinghaus, Einführung in die Mengenlehre, Springer (2021).

• Amann, Escher, Analysis I, Birkhäuser (2006).
• Appell, Analysis in Beispielen und Gegenbeispielen, Springer (2021).
• Forster, Analysis 1, Springer (2023).
• Heuser, Lehrbuch der Analysis, Vieweg+Teubner Verlag (2003).
• Hildebrandt, Analysis 1, Springer (2006).
• Königsberger, Analysis 1, Springer (2004).
• Tretter, Analysis I, Birkhäuser (2013).
• Walter, Analysis 1, Springer (2004).
• Zorich, Mathematical Analysis I (englisch), Springer (2015).

• Beutelspacher, "Das ist o. B. d. A. trivial!", Vieweg+Teubner Verlag (2009).
• Schichl, Steinbauer, Einführung in das mathematische Arbeiten, Springer (2018).

Klausur:
Siehe separate Webseite (Moodle).

Sprechstunde (Raum B 408):
Vorlesungszeit: Freitag 10-11Uhr.
Vorlesungsfreie Zeit: Nach Vereinbarung (Email).

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Letzte Änderung: 14 Februar 2024 (wird nicht mehr geändert).

Thomas Østergaard Sørensen