Yorck Sommerhäuser
Seminarbetreuung
- Lineare Topologien auf algebraischen Objekten
- Wintersemester 1996/97
- Zeit: Freitag, 14 Uhr s.t.
- Raum: 251
- Vorbesprechung:
- Inhalt: Das Seminar behandelt Topologien auf algebraischen Objekten - Gruppen, Ringen, Körpern und Vektorräumen. Dabei sollen auch Anwendungen, etwa auf die unendliche Galoistheorie, die Theorie der Distributionen und vor allem auf die Dualitätstheorie von Hopfalgebren, behandelt werden. Vorkenntnisse auf diesen Gebieten sind nicht erforderlich, wohl aber werden Grundkenntnisse aus der mengentheoretischen Topologie benötigt (Topologischer Raum, Stetigkeit, Kompaktheit). Das Seminar wendet sich an Studenten nach dem Vordiplom.
- Seminarprogramm
- Vervollständigung von Quantengruppen
- Sommersemester 1997
- Zeit: Freitag, 14 Uhr s.t.
- Raum: 251
- Vorbesprechung: Freitag, 2.5.97, 14.00 Uhr s.t., Raum 251
- Inhalt: In dem Seminar soll zunächst in die Theorie der deformierten universellen Einhüllenden von halbeinfachen Liealgebren eingeführt werden. Anschließend werden die Vervollständigungen dieser Algebren betrachtet und die universelle R-Matrix konstruiert, die in dieser Vervollständigung liegt. Das Seminar baut auf dem Seminar des letzten Wintersemesters auf, ein neuer Einstieg ist aber dennoch möglich, weil die Theorie der deformierten Einhüllenden von den Anfangsgründen an entwickelt wird. An Vorkenntnissen wird der Stoffumfang der Vorlesungen `Lineare Algebra I,II' sowie das Tensorprodukt vorausgesetzt. Für Teile des Seminars sind Kenntnisse in mengentheoretischer Topologie erforderlich. Das Seminar wendet sich an Studenten nach dem Vordiplom, die sich für eine Einführung in das aktuelle Forschungsgebiet der Quantengruppen interessieren.
- Seminarprogramm
- Jones-Theorie
- Wintersemester 1997/98
- Zeit: Freitag, 14 Uhr s.t.
- Raum: 251
- Vorbesprechung: Freitag, 8.11.97, 14 Uhr s.t., Raum 251
- Inhalt: Gegenstand des Seminars ist Jones' Zugang zum sog. Jones-Polynom, einer von ihm entdeckten Invariante eines Knotens, die im Gegensatz zu dem älteren Alexander-Polynom in der Lage ist, einen Knoten von seinem Spiegelbild zu unterscheiden. Der Zugang von Jones zu dieser Invariante führt über Erweiterungen von Algebren, Dynkin-Diagramme und Hecke-Algebren.
Grundlage des Seminars ist das Buch:
F. Goodman/P. de la Harpe/V. Jones: Coxeter graphs and towers of algebras, MSRI Publications 14, Springer, Berlin 1989
Außer guten Kenntnissen in linearer Algebra sind keine weiteren Vorkenntnisse erforderlich.
- Seminarprogramm
- Fundamentalgruppen und Tannaka-Kategorien
- Wintersemester 1997/98
- Zeit: Dienstag, 14 Uhr c.t.
- Raum: 138
- Inhalt: Die endlichdimensionalen komplexen Darstellungen einer Gruppe bilden eine Kategorie. Jeder Darstellung liegt ein Vektorraum zugrunde, und man kann das Tensorprodukt zweier Darstellungen bilden - sie ist eine Tannaka-Kategorie. Umgekehrt kann man sich die Frage stellen, ob man aus den Darstellungen die Gruppe zurückgewinnen kann, das heißt, ob man zu einer gegebenen Kategorie eine Gruppe finden kann, so daß die gegebene Kategorie gerade aus den Darstellungen dieser Gruppe besteht. Dafür ist es wichtig, zunächst einen Funktor in die Kategorie der Vektorräume - einen Faserfunktor - zu konstruieren. Gegenstand des Seminars sind diese und ähnliche Fragestellungen.
- Jones-Theorie
- Sommersemester 1998
- Zeit: Donnerstag, 15 Uhr c.t.
- Raum: 251
- Vorbesprechung: Donnerstag, 7.5.98, 9.15 Uhr, Raum 133
- Inhalt: Gegenstand des Seminars ist Jones' Zugang zum sog. Jones-Polynom, einer von ihm entdeckten Invariante eines Knotens, die im Gegensatz zu dem älteren Alexander-Polynom in der Lage ist, einen Knoten von seinem Spiegelbild zu unterscheiden. Das Seminar schließt sich thematisch an das des vorangegangenen Semesters an, ist aber inhaltlich von dem vorhergehenden größtenteils unabhängig, so daß ein Neueinstieg leicht möglich ist. Gegenstand des Seminars sind Hecke-Algebren, Temperley-Lieb-Algebren und die Spuren, die diese Algebren zulassen und mit deren Hilfe dann das Jones-Polynom konstruiert wird. Grundlage des Seminars ist das Buch:
F. Goodman/P. de la Harpe/V. Jones: Coxeter graphs and towers of algebras MSRI Publications 14, Springer, Berlin 1989
Benötigt werden Grundkenntnisse über Matrixringe.
- Seminarprogramm
- Hopf-Algebren
- Sommersemester 1998
- Zeit: Mittwoch, 9 Uhr c.t.
- Raum: 252
- Vorbesprechung: Mittwoch, 25.2.98, 11 Uhr c.t., Raum E39
- Inhalt: Im Seminar sollen sowohl die Grundlagen der Theorie der Hopfalgebren entwickelt als auch aktuellere Entwicklungen berührt werden, die an noch offene Probleme heranreichen. Darunter fallen Themen wie der Satz von Nichols und Zoeller, Spurformeln sowie die Strukturtheorie kommutativer und kokommutativer Hopfalgebren. Für das Seminar sind gute Kenntnisse in linearer Algebra unter Einschluß des Tensorproduktes erforderlich. Algebrakenntnisse sind hilfreich, aber nicht notwendig.
- Seminarprogramm
- Ausgewählte Kapitel aus der Galoistheorie
- Sommersemester 1999
- Zeit: Dienstag, 11 Uhr c.t.
- Raum: 252
- Vorbesprechung: Dienstag, 4.5.99, 11 Uhr c.t, Raum 252
- Inhalt: Wir behandeln Methoden und Beispiele aus der Galoistheorie, die die Vorlesungskenntnisse vertiefen sollen, wie etwa die konkrete Berechnung von Galoisgruppen von gewissen Polynomen. Die Gleichungen dritten und vierten Grades werden ausführlich besprochen. Wir führen fundamentale Begriffe wie Norm, Spur und Diskriminante ein und erläutern sie an Beispielen. Das Seminar wendet sich besonders an Staatsexamenskandidaten, die zusammen mit ihrem Seminarschein prüfungsrelevantes Wissen erwerben wollen. Es besteht die Möglichkeit, im Anschluß and einige der Vorträge eine Zulassungsarbeit zu schreiben.
- Seminarprogramm
- Vertexalgebren und konforme Feldtheorie
- Wintersemester 1999/2000
- Zeit: Di 11.15
- Raum: 134
- Vorbesprechung: Freitag, 30.7.99, 13.30 Uhr, Raum 251
- Lehrveranstaltungsnummer: 16214
- Inhalt: Vertexalgebren sind algebraische Strukturen, die den von Physikern in der konformen Feldtheorie benutzten Formalismus auf eine exakte mathematische Grundlage stellen sollen. Bei der Untersuchung dieser Strukturen
haben sich verblüffende Verbindungen zu anderen Teilgebieten der Mathematik ergeben, etwa zur Theorie der endlichen einfachen Gruppen oder zur Theorie der Hopfalgebren. Das große Interesse, das dieses vergleichsweise neue Gebiet auf sich gezogen hat, manifestiert sich in der Verleihung der Fields-Medallie an R. Borcherds für seine Beiträge zur Theorie der Vertexalgebren im Jahre 1998.
Das Seminar wendet sich an Studenten der Mathematik und Physik nach dem Vordiplom. Grundlage des Seminars ist das Buch:
V. Kac: Vertex Algebras for Beginners
University Lecture Notes Series, Vol. 10
American Mathematical Society
Providence, USA - Seminarprogramm
- Quantengruppen und konforme Feldtheorie
- Wintersemester 2000/2001
- Zeit: Di 14.00
- Raum: 251
- Vorbesprechung: Donnerstag, 18.10.2000, 15.15 Uhr, Raum 251
- Inhalt: Ziel des Seminars ist es, die Zusammenhänge zwischen der Theorie der Quantengruppen, den modularen Kategorien und der konformen Feldtheorie darzustellen. Wir wollen erklären, wie sowohl deformierte universelle Einhüllende von halbeinfachen Liealgebren als auch das Wess-Zumino-Witten-Modell aus der konformen Feldtheorie auf den Begriff einer modularen Kategorie und eines modularen Funktors führen. Dabei soll der allgemeine Zusammenhang an einfachen Beispielen illustriert werden.
Grundlage des Seminars sind die Bücher von B. Bakalov und A. Kirillov einerseits und das Buch von V. G. Turaev andererseits. Gute Mathematikkenntnisse sind für eine Teilnahme an dem Seminar unabdingbar.
- Seminarprogramm
- Kristallographische Gruppen
- Sommersemester 2001
- Zeit: Mittwoch, 11 Uhr c.t.
- Raum: 134
- Vorbesprechung: Dienstag, 6.2.2001, 13 Uhr c.t., Raum 251
- Inhalt: Ziel des Proseminars ist es, die ebenen kristallographischen Gruppen, also die Symmetriegruppen von Ornamenten in der Ebene, zu klassifizieren. Obwohl es eine Vielzahl von Ornamenten verschiedenster Farben und Formen gibt, erweist es sich, daß es von den Symmetrien, die diesen Ornamenten zugrunde liegen, nur 17 verschiedene Typen gibt. Es scheint, daß diese Tatsache den arabischen Kunsthandwerkern bereits im Mittelalter vertraut war, denn in Moscheen und anderen Bauwerken aus dieser Zeit finden sich alle diese Typen. Die strenge mathematische Durchführung dieser Klassifikation stammt jedoch erst vom Ende des 19. Jahrhunderts. In neuerer Zeit haben diese Symmetrien durch die Arbeiten von M. C. Escher große Beachtung gefunden.
Das Proseminar wendet sich an Mathematikstudenten vor dem Vordiplom ab dem 2. Semester. Es bietet eine ausgezeichnete Möglichkeit, die in der linearen Algebra erlernten Begriffe auf ein attraktives Problem anzuwenden und dabei zu vertiefen. Bei der Konzeption der Vorträge wurde darauf geachtet, daß die benötigten Hilfsmittel aus der linearen Algebra teilweise wiederholt werden, so daß das Proseminar auch bei der Rekapitulation der Vorlesung hilfreich ist.
- Seminarprogramm
- Morita-Theorie und Deformationsquantisierung
- Wintersemester 2001/2002
- Zeit: Freitag, 11 Uhr c.t.
- Raum: E 27
- Vorbesprechung: Donnerstag, 18.10.2001, 11 Uhr c.t., Raum E 39
- Inhalt: Im ersten Teil des Seminars stellen wir zunächst nach einer Ausarbeitung von Hyman Bass die gewöhnliche Morita-Theorie für Ringe dar. Anschließend behandeln wir, nach einer kurzen Einführung in die Theorie der Operatoralgebren, das von Marc Rieffel entwickelte Analogon dieser Theorie für C*-Algebren. Im dritten Teil des Seminars soll der Zusammenhang zur Deformationsquantisierung hergestellt werden. Bei der Deformationsquantisierung wird auf einer zunächst kommutativen Algebra ein neues Produkt, ein sogenanntes Sternprodukt, eingeführt, das nicht mehr kommutativ ist. Für die Einführung eines solchen Sternproduktes gibt es häufig mehrere Möglichkeiten. In einigen Fällen ist es nun möglich zu beschreiben, unter welchen Bedingungen die mit den verschiedenen Sternprodukten ausgestatteten Algebren Morita-äquivalent sind. Diese Fragestellung soll anhand neuerer Arbeiten besprochen werden.
- Seminarprogramm
- Azumaya-Algebren und Brauergruppen
- Sommersemester 2002
- Zeit: Freitag, 11 Uhr c.t.
- Raum: 251
- Vorbesprechung: Freitag, 19.4.2002, 11 Uhr c.t., Raum 251
- Inhalt: Während über algebraisch abgeschlossenen Körpern jede halbeinfache Algebra ein Produkt von Matrixringen über dem Grundöper ist, können über nicht algebraisch abgeschlossenen Körpern auch Matrixringe über Schiefkörpern auftreten, im Falle der reellen Zahlen etwa den Quaternionen. Die Frage, welche halbeinfachen Algebren und welche Schiefkörper über einem gegebenen Grundkörper möglich sind, führt auf interessante Zusammenhänge mit anderen Eigenschaften des Körpers, etwa seiner Galois-Kohomologiegruppen. Im Seminar stellen wir zunächst diese Theorie für Körper dar und beschäftigen uns dann mit ihrer Verallgemeinerung auf Ringe. Diese Theorie, die für zahlentheoretisch definierte Ringe schon recht alt ist, hat durch ihre Anwendung auf Ringe differenzierbarer Funktionen jüngst das Interesse der Stringtheoretiker auf sich gezogen.
- Seminarprogramm
- Seminarausarbeitung
- K-Theorie
- Wintersemester 2002/2003
- Zeit: Freitag, 14 Uhr c.t.
- Raum: E 45
- Vorbesprechung: Freitag, 18.10.2002, 14 Uhr c.t., Raum E 45
- Inhalt:
In diesem Seminar geben wir eine Einführung in die K-Theorie an. Die K-Theorie ist ein Teil der Ringtheorie, in der einem Ring gewisse abelsche Gruppen, die sog. K-Gruppen, zugeordnet werden, die gewisse Eigenschaften des Ringes beschreiben. Der Ursprung dieser Theorie liegt in der Topologie, wo der Fall betrachtet wird, daß der Grundring der Ring der stetigen Funktionen auf einem topologischen Raum ist. Die K-Gruppen werden dann zu Invarianten des
topologischen Raumes.
Der Schwerpunkt des Seminars wird auf der algebraischen K-Theorie liegen, die aber mit der topologischen K-Theorie und der K-Theorie für Operatoralgebren verglichen werden soll. Ein zentrales Thema des Seminars ist der Zusammenhang der zweiten K-Gruppe mit der Brauergruppe, der durch den Satz von Merkuriev-Suslin hergestellt wird. Von diesem Satz ausgehend wollen wir am Ende einerseits die aktuellen Fortschritte diskutieren, in der motivischen Kohomologie diskutieren, die in jüngster Zeit für Aufsehen gesorgt haben, und andererseits die Rolle beleuchten, die die K-Theorie in der Stringtheorie spielt.
Das Seminar wendet sich an Studenten im Hauptstudium, die ein Gebiet kennenlernen wollen, das in der Algebra, in der Topologie und in der Differentialgeometrie relevant ist. Außer einer gewissen mathematischen Erfahrung sind keine speziellen Vorkenntnisse notwendig.
- Seminarprogramm
-
Galoistheorie inseparabler Erweiterungen
- Sommersemester 2003
- Zeit: Freitag, 14 Uhr c.t.
- Raum: 132
- Vorbesprechung: Freitag, 4.2.2003, 13.45 Uhr, Raum 138
- Inhalt:
Bekanntlich ist eine Körpererweiterung
galoissch, wenn sie endlich, normal und separabel ist. In diesem Fall liefert die sog. Galoiskorrespondenz einen eineindeutigen Zusammenhang zwischen den
Untergruppen der Galoisgruppe und den Zwischenkörpern der Körpererweiterung.
Auch im Fall von rein inseparablen Körpererweiterungen läßt sich in gewissen Fällen eine solche Galoiskorrespondenz herstellen, indem man statt mit Automorphismengruppen mit anderen Objekten arbeitet. Im Fall von Erweiterungen vom Exponenten 1 werden die Automorphismengruppen durch gewisse Liealgebren von Derivationen ersetzt, im Falle höherer Exponenten muß man stattdessen mit sog. höheren Derivationen arbeiten. Automorphismen, Derivationen und höhere Derivationen können alle als Elemente einer Hopfalgebra verstanden werden, sodaß alle diese Galoiskorrespondenzen in die Hopf-Galois-Theorie eingeordnet werden können.
Das Seminar wendet sich an Studenten im Hauptstudium, die die Vorlesung Algebra I gehört haben und dieses Wissen nun vertiefen wollen. Als Vorkenntnisse genügen Kenntnisse in linearer Algebra und Grundkenntnisse der Galoistheorie.
- Seminarprogramm
- Seminar über Algebra (Seminar on algebra)
- Autumn quarter 2006
- Zeit: Montag, 13.00 Uhr c.t. (alle zwei Wochen)
- Raum: Braunstein 324
- Seminar über Algebra (Seminar on algebra)
- Winter quarter 2007
- Zeit: Freitag, 12.00 Uhr c.t. (alle zwei Wochen)
- Raum: Rieveschl 422-F
- Seminar über Algebra (Seminar on algebra)
- Spring quarter 2007
- Zeit: Dienstag, 10.00 Uhr c.t. (alle zwei Wochen)
- Raum: Rieveschl 422-F
- USA-Algebra-Seminar
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- Letzte Änderung: 31.10.2008