Jones-Theorie

Sommersemester 1998

2. Fassung

1. Vortrag 1: Spuren und bedingte Erwartungen

(a) Ziel: Definition von Spuren und bedingten Erwartungen. Fortsetzbarkeit von Spuren. Existenz und Eindeutigkeit bedinger Erwartungen.

(b) Literatur: [6], Chap. 2, sec. 2.5, sec. 2.6.

(c) Datum: 14.5.98

2. Vortrag 2: Markowspuren

(a) Ziel: Definition von Markowspuren. Notwendige und hinreichende Bedingungen für ihre Existenz und Eindeutigkeit. Induzierte Markowspur auf der Fundamentalkonstruktion.

(b) Literatur: [6], Chap. 2, sec. 2.7.

(c) Datum: 28.5.98

3. Vortrag 3: Clifford-Algebren

(a) Ziel: Definition von Clifford-Algebren. Dirac-Algebra als Spezialfall. Nachweis der Halbeinfachheit von Clifford-Algebren nicht ausgearteter Bilinearformen über den komplexen Zahlen, Bestimmung der Struktur. Berechnung des Bratteli-Diagramms der Erweiterung “gerade Komponente ⊂ Cliffordalgebra”. Diskussion der γ_{5}-Matrix.

(b) Literatur: Vortragsprogramm, [8], Chap. V, [4]

(c) Datum: 4.6.98

4. Vortrag 4: Temperley-Lieb-Algebren 1

(a) Ziel: Herleitung der Temperley-Lieb-Relationen für die bedingten Erwartungen eines Algebrenturms. Definition von Temperley-Lieb-Algebren. Abschätzung der Dimension.

(b) Literatur: [6], Chap. 2, sec. 2.7, sec. 2.8.

(c) Datum: 18.6.98 5. Vortrag 5: Temperley-Lieb-Algebren 2

(a) Ziel: Genaue Berechnung der Dimension der Temperley-Lieb-Algebren für generische Werte des Moduls. Nachweis der Halbeinfachheit der Temperley-Lieb-Algebra und genaue Bestimmung der Struktur.

(b) Hinweis: Wir betrachten in diesem Seminar nur den Fall, daß der Modul der Temperley-Lieb-Algebra generisch ist. Man beachte, daß Temperley-Lieb-Algebren in [6] etwas anders als üblich definiert sind. Der Zusammenhang mit der üblichen Defition findet sich in [6], Appendix IIb.

(c) Literatur: [6], Chap. 2, sec. 2.8.

(d) Datum: 25.6.98

6. Vortrag 6: Hecke-Algebren

(a) Ziel: Definition der Hecke-Algebra zur einer beliebigen Erweiterung H ⊂ G von Gruppen. Spezialisierung auf die allgemeine lineare Gruppe über einem endlichen Körper. Berechung der Dimension der Hecke-Algebra.

(b) Literatur: [6], Chap. 2, sec. 2.10a, sec. 2.10b., [7]

(c) Datum: 2.7.98

7. Vortrag 7: Hecke-Algebren und Temperley-Lieb-Algebren

(a) Ziel: Konstruktion eines Algebrenhomomorphismusses von der Hecke-Algebra in die Temperley-Lieb-Algebra. Nachweis der Surjektivität. Bericht (ohne Beweis) über den Kern.

(b) Literatur: [6], Chap. 2, sec. 2.11.

(c) Datum: 9.7.98

8. Vortrag 8: Das Jones-Polynom

(a) Ziel: Definition der Zopfgruppen durch die Artin-Präsentation. Zusammenhang der Artin-Präsentation mit Zöpfen. Verschlingungen aus Zöpfen und die Markow-Bewegungen. Der kanonische Homomorphismus von der Zopfgruppe in die Hecke-Algebra. Definition des Jones-Polynoms.

(b) Literatur: [10], Chap. 9, Chap. 10.

(c) Datum: 16.7.98

9. Vortrag 9: Von-Neumann-Algebren

(a) Ziel: Erklärung der Begriffe: Banachalgebra, C^{∗}-Algebra, Von-Neumann-Algebra, Faktor, II_{1}-Faktor, Kopplungskonstante

(b) Literatur: [6], Chap. 3, sec. 3.2, [11], [12]

(c) Datum: 23.7.98

10. Vortrag 10: Der Jones-Index (a) Ziel: Definition des Jones-Index für II_{1}-Faktoren

(b) Literatur: [6], Chap. 3, sec. 3.4, [1]

(c) Datum: 30.7.98

Literatur

[1] A. Connes: Indice des sous-facteurs, algèbres de Hecke et théorie des noeds, Astérisque 133-134 (Soc. Math. France 1986), 289-308

[2] B. Farb/R. K. Dennis: Noncommutative algebra, Graduate Texts in Mathematics 144, Springer Verlag, Berlin, 1994

[3] F. R. Gantmacher: Matrizentheorie, Springer Verlag, Berlin, 1986

[4] W. Greub: Multilinear algebra, 2. Auflage, Universitext, Springer Verlag, Berlin, 1978

[5] D. M. Goldschmidt: Group characters, symmetric functions, and the Hecke algebra, Univ. Lect. Ser.. Vol. 4, Amer. Math. Soc., Providence, 1993

[6] F. M. Goodman/P. de la Harpe/V. F. R. Jones: Coxeter graphs and towers of algebras, Mathematical Sciences Research Institute Publications 14, Springer Verlag, Berlin 1989

[7] J. E. Humphreys: Reflection groups and Coxeter groups, Cambridge Stud. Adv. Math. 29, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1990

[8] N. Jacobson: Lectures in abstract algebra II, Grad. Texts in Math. 31, Springer Verlag, Berlin, 1984

[9] V. F. R. Jones: Hecke algebra representation of braid groups and link polynomials, Ann. Math. (2) 126 (1987), 335-388

[10] L. Kadison: New examples of Frobenius extensions, Preprint, 1998

[11] R. Kadison/J. Ringrose: Fundamentals of the theory of operator algebras, Vol. I, II, Academic Press, London, 1983, 1986

[12] M. Takesaki: Theory of Operator algebras I, Springer Verlag, Berlin, 1979