Mathematisches Institut SS 1999 der Universität München Prof. Dr. B. Pareigis

Ausgewählte Kapitel aus der Galoistheorie

Vortragsplan

1. Vortrag 1: Die Cardanische Formel für die Gleichung 3. Grades

(a) Ziel: Herleitung der Cardanischen Formel zur Auflösung der Gleichung 3. Grades, trigonometrische Lösung im casus irreducibilis

(b) Literatur: [2], Kap. XII, Nr. 75, 76 siehe auch [1], [13], [7], [15], [16].

(c) Datum: 11.5.99

2. Vortrag 2: Die Formel von Ferrari für die Gleichung 4. Grades

(a) Ziel: Herleitung der Formel von Ferrari zur Auflösung der Gleichung 4. Grades,

(b) Literatur: [2], Kap. XII, Nr. 77, 78, siehe auch die Literatur zu Vortrag 1.

(c) Datum: 18.5.99

3. Vortrag 3: Norm und Spur

(a) Ziel: Definition der Begriffe: Norm, Spur, Diskriminante. Herleitung der Formeln für Norm und Spur als Summe bzw. Produkt von konjugierten Elementen. Nichtverschwinden der Diskriminante im separablen Fall.

(b) Literatur: [4], Chap. I, § 14.

(c) Datum: 25.5.99

4. Vortrag 4: Galoisgruppen der Gleichungen dritten und vierten Grades (a) Ziel: Definition der Diskriminante eines Polynoms. Berechnung der

Diskriminante für Polynome zweiten, dritten und vierten Grades. Bezug zu den Lösungsformeln. Herleitung der möglichen Galoisgruppen für Polynome dritten und vierten Grades.

(b) Literatur: [4], Chap. II, § 1, [6], Part I, Nr. 10, siehe auch [1].

(c) Datum: 1.6.99

5. Vortrag 5: Irreduzibilitätskriterien

(a) Ziel: Beweis der Irreduzibilitätskriterien von Eisenstein und von Schönemann.

(b) Literatur: [13], § 31, S. 96, [11], § 61, S. 100-101.

(c) Datum: 8.6.99

6. Vortrag 6: Kreisteilungskörper

(a) Ziel: Definition des Kreisteilungspolynoms, Nachweis der Irreduzibilität.

(b) Literatur: [4], Chap. III, § 1.

(c) Datum: 15.6.99

7. Vortrag 7: Kummer-Erweiterungen

(a) Ziel: Definition von Kummer-Erweiterungen, Beschreibung der Kummer-Erweiterungen eines Körpers durch Untergruppen der multiplikativen Gruppe.

(b) Literatur: [4], Chap. III, § 3.

(c) Datum: 22.6.99

8. Vortrag 8: Transzendente Erweiterungen

(a) Ziel: Definition der Begriffe Transzendenzbasis und Transzendenzgrad. Nachweis der Existenz einer Transzendenzbasis und der Unabhängigkeit des Transzendenzgrades von der Wahl der Transzendenzbasis.

(b) Literatur: [4], Chap. IV, § 3.

(c) Datum: 29.6.99

9. Vortrag 9: Der Satz von Lüroth

(a) Ziel: Beweis des Satzes von Lüroth: Unterkörper einfach transzendenter Erweiterungen sind wieder einfach transzendent.

(b) Literatur: [4], Chap. IV, § 4.

(c) Datum: 6.7.99

10. Vortrag 10: Galoiskohomologie (a) Ziel: Definition der Galoiskohomologiegruppen, Beweis von Hilberts Satz 90: Die erste Galoiskohomologiegruppe der multiplikativen Gruppe verschwindet.

(b) Literatur: [4], Chap. I, § 15.

(c) Datum: 13.7.99

11. Vortrag 11: Der Satz von Artin-Schreier

(a) Ziel: Definition angeordneter und formal reeller Körper. Beweis des Satzes von Artin-Schreier: Ein Körper läßt sich genau dann anordnen, wenn er formal reell ist.

(b) Literatur: [9], Kap. II, § 2, siehe auch [4], Chap. VI.

(c) Datum: 20.7.99

Literatur

[1] M. Artin: Algebra, Birkhäuser, Basel, 1993

[2] G. Bauer: Vorlesungen über Algebra, Teubner, Leipzig, 1903

[3] H. Edwards: Galois theory, Grad. Texts Math. 101, Springer, Berlin, 1984 [4] N. Jacobson, Lectures in abstract algebra III, Grad. Texts Math. 32, Sprin-

ger, Berlin

[5] N. Jacobson, Basic Algebra I, Freeman, San Francisco, 1974

[6] I. Kaplansky: Fields and rings, The University of Chicago Press, Chicago, 1969

[7] Kleine Enzyklopädie Mathematik, Pfalz Verlag, Basel, 1967

[8] Ö. Ore: Zur Theorie der Irreduzibilitätskriterien, Math. Z. 18 (1923), 278-288

[9] S. Prieß-Crampe: Angeordnete Strukturen: Gruppen, Körper, projektive Ebenen, Ergebn. Math. Grenzgeb. 98, Springer, Berlin, 1983

[10] J. Rotman: Galois theory, Universitext, Springer, Berlin, 1990

[11] Th. Schönemann: Von denjenigen Moduln, welche Potenzen von Primzahlen sind, J. reine angew. Math. 32 (1846), 93-105

[12] G. Stroth: Algebra, de Gruyter

[13] B. L. van der Waerden: Algebra I, 7. Aufl., Springer, Berlin, 1966

[14] B. L. van der Waerden: A history of algebra, Springer, Berlin, 1985

[15] H. Weber: Kleines Lehrbuch der Algebra, Vieweg, Braunschweig, 1921 [16] H. Weber/J. Wellstein: Encyklopädie der Elementar-Mathematik I, Teub-

ner, Leipzig, 1903

[17] D. Winter, The structure of fields, Grad. Texts Math. 16, Springer, Berlin, 1974