Die Riemannsche Zetafunktion
Eine Einführung in die analytische Zahlentheorie
Vorlesung von
O. Forster
im WS 2008/09
am Mathematischen Institut der LMU München
Mi 14-16, HS A027, Theresienstr. 39
Übungen dazu 14-tägl. Fr 14-16, A027
Beschreibung
Im Jahre 1859 veröffentlichte B. Riemann seine
bahnbrechende Arbeit ``Ueber die Anzahl der Primzahlen
unter einer gegebenen Grösse''. Die Arbeit handelt
von der Zetafunktion und ihrer Verbindung mit der
Funktion pi(x), welche die Anzahl der Primzahlen
kleiner oder gleich x angibt. Die Zetafunktion ist
zunächst definiert als unendliche Summe von 1/n^s
über alle natürlichen Zahlen n. Die Reihe konvergiert
für reelle s größer als 1. Riemann betrachtet die
Funktion auch für komplexes s und zeigt,
dass sie sich analytisch in die ganze komplexe Ebene
fortsetzen lässt mit einem einzigen Pol erster
Ordnung an der Stelle s=1. Außerdem beweist Riemann
eine Funktionalgleichung für die Zetafunktion und
stellt die Vermutung auf, dass alle nicht-reellen
Nullstellen von zeta(s) den Realteil 1/2 haben.
Dies wurde zwar numerisch für mehr als eine
Milliarde Nullstellen bestätigt, trotzdem
ist die Riemannsche Vermutung (die auch zu den
Milleniums-Problemen zählt) bis heute unbewiesen.
In dieser Vorlesung (zum 150. Jahrestag der Riemannschen
Vermutung) stellen wir die Zetafunktion vor, beweisen
mit ihrer Hilfe den Primzahlsatz, dass pi(x) asymptotisch
gleich x/log(x) ist und besprechen einige Folgerungen
und Äquivalenzen zur Riemannschen Vermutung.
für: Studentinnen und Studenten der Mathematik im Hauptstudium
Vorkenntnisse: Elemente der Funktionentheorie (bis zum
Residuensatz).
Grundkenntnisse aus der elementaren Zahlentheorie
sind nützlich, aber nicht unbedingt erforderlich.
Schein gilt als halber Übungsschein für Hauptdiplom, Reine Mathematik
Vorlesungs-Skript:
Die Kapitel 1-2 und 6-10 wurden von Andreas Wadhwa ausgearbeitet.
- Zeta-Funktion. Euler-Produkt (pdf)
- Dirichlet-Reihen und arithmetische Funktionen (pdf)
- Euler-Mascheronische Konstante und Dirichletscher Teilersatz (pdf)
- Äquivalenzen zum Primzahlsatz (pdf)
- Beweis des Primzahlsatzes (pdf)
- Die Gamma-Funktion (pdf)
- Funktionalgleichung der Zeta-Funktion (pdf)
- Die Nullstellen der Zeta-Funktion (pdf)
- Die Lindelöfsche Vermutung (pdf)
- Äquivalenzen zur Riemannschen Vermutung (pdf)
T. Apostol: Introduction to Analytic Number Theory. Springer 1976
J. Brüdern: Einführung in die analytische Zahlentheorie. Springer 1995
H.M. Edwards: Riemann's Zeta Function. Academic Press 1974. Nachdruck Dover
Hlawka/Schoißengeier/Taschner: Geometric and Analytic Number Theory. Springer 1991
A. Ivic: The Riemann Zeta-Function. Wiley 1985
S.J. Patterson: An introduction to the theory of the Riemann Zeta-Function. Cambridge UP 1988
K. Prachar: Primzahlverteilung. Springer 1957.
E.C. Titchmarsh: The Theory of the Riemann Zeta-Function. Oxford UP, 2nd ed. 1986
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