Analytische Zahlentheorie
Vorlesung von Otto Forsteram Mathematischen Institut, LMU München
Theresienstr. 39
Sommer-Semester 2011,
Mi, Fr 14-16, HS A027
Übungen: Mi 16-18, HS B047
Beschreibung:
In der analytischen Zahlentheorie werden Methoden
aus der Funktionentheorie zur Lösung von zahlentheoretischen
Problemen, insbesondere über die Verteilung von Primzahlen,
angewandt. Haupt-Hilfsmittel sind die Riemannsche
Zetafunktion und sog. Dirichlet-Reihen.
In der Vorlesung beweisen wir u.a. den Primzahlsatz,
der besagt, dass die Anzahl der Primzahlen kleiner-gleich X
asymptotisch gleich X/log(X) ist
und gehen auf die Bedeutung der bis heute unbewiesenen
Riemannschen Vermutung über die Nullstellen der
Zetafunktion ein.
Ein weiteres Thema ist der Satz von Dirichlet
über Primzahlen in arithmetischen Progressionen.
(Ein Spezialfall davon ist die Aussage, dass es asymptotisch
gleich viele Primzahlen der Form 4n+1 und 4n+3 gibt.)
Außerdem behandeln wir die Zetafunktion algebraischer
Zahlkörper, insbesondere quadratischer Zahlkörper.
Vorkenntnisse:
Grundkenntnisse aus Funktionentheorie und Algebra
Für: Studierende der Mathematik im Hauptstudium (Diplom, Master)
Inhalt:
- Riemannsche Zetafunktion und Euler-Produkt
- Primzeta-Funktion. Summe der reziproken Primzahlen (pdf)
- Allgemeine Sätze über Dirichlet-Reihen
- Arithmetische Funktionen
- Äquivalenzen zum Primzahlsatz (pdf)
- Beweis des Primzahlsatzes (pdf)
- Die Funktionalgleichung der Zetafunktion (pdf)
- Die Mellin-Transformation und ihre Umkehrung (pdf)
- Abschätzungen in vertikaler Richtung (pdf)
- Äquivalenzen zur Riemannschen Vermutung (pdf)
- Gruppen-Charaktere. Dirichletsche L-Reihen
- Primzahlen in arithmetischen Progressionen
- Quadratische Zahlkörper
- Zetafunktion eines quadratischen Zahlkörpers
Literatur
- Apostol: Introduction to analytic number theory. Springer 1976
- Edwards: Riemann's Zeta Function. Academic Press 1974. Nachdruck Dover
- Hardy/Wright: Introduction to the theory of numbers. Oxford UP, 5th ed. 1985
- Hlawka/Schoißengeier/Taschner: Geometric and Analytic Number Theory. Springer 1991
- Serre: A Course in Arithmetic. Springer. 2. Aufl. 1996
- Titchmarsh: The Theory of the Riemann Zeta-Function. Oxford UP, 2nd ed. 1986
- Zagier: Zetafunktionen und quadratische Körper. Springer 1981
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Otto Forster 2011-03-20