Mathematisches Institut
Joachim Wehler
LMU München
Sommersemester 2020
Seminar (Hauptseminar): Riemannsche Flächen
Sommersemester 2020
1. Beschreibung
Gegenstand des Seminars sind ausgewählte Kapitel aus der Theorie der Riemannschen Flächen. Zwei Themenkreise sind:
- Kompakte Riemannsche Flächen: Der Einbettungssatz. Jede kompakte Riemannsche Fläche läßt sich in einen projektiven Raum einbetten. Damit sind kompakte Riemannsche Flächen in der Form projektiv-algebraischer Kurven auch Gegenstand der Algebraischen bzw. Arithmetischen Geometrie.
- Nicht-kompakte Riemannsche Flächen: Jede nicht-kompakte Riemannsche Fläche ist eine Steinsche Mannigfaltigkeit. Steinsche Mannigfaltigkeiten entsprechen den affinen Schemata der Algebraischen Geometrie.
Zielgruppe: Studierende der Mathematik und Physik mit Vorkenntnissen in der Funktionentheorie. Der vorherige Besuch einer einführenden Vorlesung über Riemannsche Flächen, komplexe Mannigfaltigkeiten oder Algebraische Geometrie ist hilfreich. Empfohlen wird auch der Besuch der parallelen Vorlesung Complex Geometry.
Termin: Update: Dienstag 8.15 - 10 Uhr
Das Seminar findet als Zoom-Sitzung statt. Ich werde die Teilnehmer, die sich bei mir per email angemeldet haben, jeweils zu der Zoom-Sitzung einladen.
2. Vorbesprechung
Mittwoch, 5.2.2020, 14-16 Uhr, Raum B 252
3. Themenliste
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Nr. |
Vortragssthema |
Termin |
Inhalt |
Literatur |
ReferentIn |
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1 |
Die Chernklasse eines Geradenbündels |
21.4.2020 |
Geradenbündel, Divisoren, Cozyklen. Definition der Chernklasse und de Rham Repräsentant. |
[Weh2020] Chap. 10.2 [For1981] §29 |
J. Wehler |
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2 |
Meromorphe Schnitte eines Geradenbündels |
28.4.2020 |
Grad eines Divisors und Chernzahl seines Geradenbündels. Existenz meromorpher Schnitte in Geradenbündeln. Erweiterung der Sätze von Riemann-Roch und Serre auf Geradenbündel. |
[Weh2020] Chap. 10.3 [For1981] §29 |
J. Wehler |
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Kompakte Riemannsche Flächen |
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3 |
Projektive Einbettung Riemannscher Flächen |
5.5.2020 |
Geradenbündel L ist sehr ampel, falls deg L >= 2g+1 |
[Weh2020] Chap. 11.1-2 [Har1977] Chap. IV, §3 [For1981] §17 |
Hr. Gao |
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4 |
Projektive Einbettungen von Tori als elliptische Kurven |
12.5.2020 |
Einbettungssatz für Tori, Elliptische Funktionen, Elliptische Kurven, Weierstrass Gleichung, Diskriminantenform |
[Weh2020] Chap. 11.3 [Weh2019] Theor. 3.20, 4.18 [Har1977] Chap. IV, §4 |
Fr. Pilatus |
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5 |
Harmonische Differentialformen |
26.5.2020 |
Definition harmonischer Funktionen und harmonischer Differentialformen. De Rahm Gruppe und harmonische Differentialformen |
[For1981] §19 [Weh2020] Chap. 12.3 |
Fr. Hsiao |
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Nicht-kompakte Riemannsche Flächen |
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6 |
Distributionen und das Weylsche Lemma |
entfällt |
Testfunktionen. Distributionen als stetige Funktionale. Regularität harmonischer oder holomorpher Distributionen. |
[Weh2020] Chap. 13 [For1981] §24 |
entfällt |
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7 |
Rungescher Approximationsatz |
9.6.2020 |
Der Schritt "lokal -> global" bei der Approximation holomorpher Funktionen. |
[Weh2020] Chap. 14 [For1981] §25 |
Hr. Solé-Farré |
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8 |
Die Probleme von Mittag-Leffler und Weierstrass. |
23.6.2020 |
Lösung auf offenen Riemannschen Flächen |
[Weh2020] Chap. 15.1 [For1981] § 20, §26 |
J. Wehler |
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9 |
Trivialität holomorpher Geradenbündel |
30.6.2020 |
Fréchet Topologie für holomorphe Cokettengruppen. Satz von Schwartz über kompakte Operatoren. Trivialität holomorpher Geradenbündel. |
[Weh2020] Chap. 15.2 [For1981] § 30 |
J. Wehler |
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10 |
Steinsche Mannigfaltigkeiten. Rückschau Seminar |
7.7.2020 |
Definition der Steinschen Mannigfaltigkeit. Nicht-kompakte Riemannsche Flächen sind Steinsch. |
[Weh2020] Chap. 15.3 [For1981] § 26 [GR1977] |
J. Wehler |
Die Dauer eines Vortrags beträgt 75 Minuten; die Zeit darf nicht überschritten werden. The talk can also be given in English.
Wenn Sie sich für eines der freien Themen interessieren oder wenn Sie weitere Themenwünsche oder -vorschläge haben, bitte geben Sie mir Bescheid. Bitte nennen Sie mir dabei Ihr Studienfach mit Semesterzahl, den Umfang Ihrer Vorkenntnisse über Riemannsche Flächen und Ihren Themenwunsch.
Update 8.4.2020:
Wegen der gegenwärtigen und vermutlich noch weitergehenden Ausgangsbeschränkung wird das Seminar online mit Hilfe des Tools Zoom durchgeführt.
Wenn Sie sich auf ein Thema vorbereiten wollen, so schicken Sie mir bitte per email bis 6 Wochen vor dem ursprünglich geplanten Termin des Vortrags eine etwa 3-seitige Gliederung des Themas. Die Gliederung soll zeigen,
- welche Resultate Sie bringen wollen,
- in welcher logischen Reihenfolge
- und wieviel Zeit von den 75 Minuten Sie für jedes Resultat vorsehen.
- Ausserdem sollten Sie exemplarisch ein Resultat mit Beweis so ausformulieren, wie Sie es an die Tafel geschrieben hätten.
Erst auf Basis dieser schriftlichen Gliederung kann die Vergabe eines Seminarvortrags erfolgen.
Bei Fragen können Sie mir gern eine email schicken oder eine Zoom-Sprechstunde vereinbaren.
4. Literatur
[For1973] Forster, Otto: Komplexe Analysis. Regenburg (1973)
[For1981] Forster, Otto: Riemann Surfaces. Springer, New York (1981)
[GR1977] Grauert, Hans; Remmert, Reinhold: Theorie der Steinschen Räume. Springer, Berlin (1977)
[Gun1961] Gunning, Robert: Lectures on Riemann Surfaces. Princeton University Press (1961)
[Har1977] Hartshorne, Robin: Algebraic Geometry. Springer, New York (1977)
[Weh2019] Wehler, Joachim: Elliptic functions and Modular Forms. Lecture Notes (Continuously updated) (2019)
[Weh2020] Wehler, Joachim: Riemann Surfaces. Lecture Notes (Continuously updated) (2020)