Vorlesung: Partielle Differentialgleichungen II (PDG2) (SoSe 2020)

Lecture (Vorlesung):
Tue 14--16 & Wed 14--16 (in A 027).

Exercises (Übungen):
See separate webpage.

Tutorials (Tutorien):
See separate webpage.

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Synopsis (Kurzbeschreibung): This lecture is a continuation of the introductory lecture 'Partielle Differentialgleichungen' (PDG1) in the past semester (WiSe2014/15) by Prof. Bachmann. (It can also be taken as a continuation of my introductory lecture 'Partielle Differentialgleichungen' (PDG1) in the semester WiSe2013/14).
We will study existence and regularity of weak solutions to elliptic equations. This will also involve the study of weak derivatives and Sobolev spaces (on domains).

Audience (Hörerkreis): Master students of Mathematics and Physics, TMP-Master (Studierende Mathematik, Physik, TMP).

Prerequisites (Vorkenntnisse): Analysis I–III, Linear Algebra I–II, Functional Analysis, PDE1 (in some form; approximately p. 1–90 in [E] Evans (see below)).
(Analysis I-III, Lineare Algebra I-II, Funktionalanalysis, PDG1 (in irgendeiner Ausgabe; entspricht S. 1-90 in [E] Evans (sehe unten)).)

Literature (Literatur): There will be no lecture notes. Here you will find a short description of the content of the lecture (to be updated as we go along). The lecture will mainly follow the two books mentioned below (you may find several copies in the library).
(Es wird kein Skript geben. Hier wird laufend eine Kurzübersicht der Vorlesung erstellt.
Die Vorlesung wird größtenteils auf folgenden zwei Büchern (von denen mehrere Exemplare in der Bibliothek vorhanden sind) basieren:)

[E] L. C. Evans, Partial Differential Equations: Second Edition, AMS, Providence, RI, 2010.

[A-U] W. Arendt und K. Urban, Partielle Differenzialgleichungen, Spektrum Akademischer Verlag, 2010.

Supplementary literature (Ergänzende Literatur): Here is a list. For Sobolev spaces, see here. See also the Lecture Notes from the course by Prof. Breit in WiSe 2013/14.

Exercises and Tutorials (Ablauf des Übungsbetriebs):

Jede Woche gibt es ein Übungsblatt zu bearbeiten, das im Laufe des Donnerstags hier online gestellt wird.
Die Aufgaben werden in den Übungen (Exercises) besprochen.
Es wird keine Korrektur der Übungsblätter stattfinden.
Die Übungen und deren Lösungen sind Teil des Prüfungsstoffs.
Es gibt kein Bonuspunktesystem für die Übungen.
Es werden keine Musterlösungen zur Verfügung gestellt.

In den Zusätzlichen Übungen (Tutorials) werden zusätzliche Aufgaben, Stoff aus der Vorlesung usw. besprochen. Programm dazu wird im Laufe des Donnerstags hier online gestellt.

(For English translation, ask someone, or use Google Translate: Exercises and Tutorials!)

Office hours (Sprechstunden):
Prof. Sørensen: Do 10--11 (Room/Raum B 408) or by appointment via email (oder nach Vereinbarung via Email).
Dr Soneji: Fr 11--12 (Room/Raum B 334).

Exam (Prüfung): There will be an oral exam (dates to be announced).
(Es wird eine mündliche Prüfung geben).



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Synopsis (Kurzbeschreibung):
In this course we will study time-dependent dispersive Partial Differential Equations (PDEs), more explicitly the linear and nonlinear Schroedinger equation. This equation has applications in Physics (nonlinear optics, laser physics, Bose-Einstein condensation), but is also mathematically intrinsically interesting.
The course will start by developing certain tools in Analysis, needed to study the PDE, and interesting in their own right. (Students having seen some of these in recent courses should be aware that the presentation might be sligtly different in this course)
Keywords: Fourier transform, tempered distributions, oscillatory integrals, interpolation theorems (Riesz-Thorin, Marcinkiewicz, Stein), functional inequalities (Young, Hausdorff-Young, Hardy-Littlewood etc), Hardy-Littlewood Maximal Function, Sobolev spaces and pseudodifferential operators (crash course!).
For the PDE-part, some keywords are: Global and local smoothing effect, local well-posedness of the initial value problem (IVP) (L^2, H^1, and H^2 - theory).

Audience (Hörerkreis):
Master students of Mathematics (WP 40), Master students of `Finanz- und Versicherungsmathematik' (WP 27), TMP-Master.

Credits:
9 (6+3) ECTS.

Prerequisites (Vorkenntnisse):
Analysis I-III, Functional Analysis (in particular, Integration Theory and L^p-spaces), some Complex Analysis.
Note: PDE 1 is not a prerequisite: This course does not build on PDE 1 from last semester.
Here you find a handout with the needed facts (without proofs): Version 0.5 (06 May).

Language (Sprache):
English. (Die mündliche Prüfung kan auch auf Deutsch gemacht werden).

Exam (Prüfung):
There will be an oral exam (Es wird eine mündliche Prüfung geben). See separate webpage.

Content (Inhalt):

0. Introduction and motivation

1. Fourier transform

   1.1 Fourier transform on L^1(R^d)
   1.2 Fourier transform on L^2(R^d)
   1.3 Tempered distributions
   

2. Interpolation of operators

   2.1 Riesz-Thorin Convexity Theorem
   2.2 Marcinkiewicz Interpolation Theorem (Diagonal Case)
   2.3 The Stein Interpolation Theorem
   2.4 The Mikhlin-Hörmander Multiplier Theorem
   

3. Sobolev Spaces and Pseudo-Differential Operators

   3.1 Sobolev Spaces
   3.2 Pseudodifferential Operators
   

4. The Linear Schrödinger Equation

   4.1 Basic Results
   4.2 Global Smoothing Effects
   4.3 Local Smoothing Effects
   

5. The Nonlinear Schrödinger Equation: Local theory

   5.0 Preliminaries
   5.1 L^2 theory
   5.2 H^1 theory
   5.3 H^2 theory
   

6. Asymptotic behaviour of solutions (outlook)

   6.1 Global results
   6.2 Formation of singularities
   

Literature (Literatur):
There will be no lecture notes. Above you will find a short description of the content of the lecture (to be updated as we go along). The lecture will mainly follow the book by Linares and Ponce mentioned below.
(Es wird kein Skript geben. Hier wird laufend eine Kurzübersicht der Vorlesung erstellt. Die Vorlesung wird größtenteils auf folgendes Buch basieren:)

[LP] F. Linares, G. Ponce, Introduction to Nonlinear Dispersive Equations, 2nd edition, Springer (Universitext), 2015. (Login with your Campus-account.)

Supplementary literatur (Ergänzende Literatur):

• J. Bourgain, Global Solutions of Nonlinear Schrödinger Equations, AMS (1999).
• T. Cazenave, Semilinear Schrödinger Equations, AMS (2003).
• C. E. Kenig, Lectures on the Energy Critical Nonlinear Wave Equation, AMS (2015).
• W. A. Strauss, Nonlinear Wave Equations, AMS (1989).
• C. Sulem, P.-L. Sulem, The nonlinear Schrödinger equation, Springer (1999).
• T. Tao, Nonlinear Dispersive Equations, AMS (2006).

Office hours (Sprechstunde):
Wednesday 10:15-11:00 (Room B 408) or by appointment via email.


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Letzte Änderung: 23 September 2019 (No more updates)

Thomas Østergaard Sørensen