Algebraische Zahlentheorie
Vorlesung von O. Forster im SS 2014am Mathematischen Institut der LMU München
Mi, Fr 14-16, HS A027, Theresienstr. 39
mit 2-std.
Übungen
Beschreibung
In dieser Vorlesung geht es hauptsächlich
um algebraische Zahlkörper (d.h. endliche Erweiterungen
des Körpers der rationalen Zahlen) und die Ringe der
ganz-algebraischen Zahlen in diesen Zahlkörpern.
Diese sind in mancher Hinsicht analog zum Ring Z der
ganzen Zahlen; es treten aber auch neue Phänomene auf:
Z.B. bleibt eine Primzahl aus Z nicht mehr notwendig prim,
wenn man in die algebraische Erweiterung übergeht;
nicht mehr jedes Ideal ist ein Hauptideal und
der Satz über die Existenz und Eindeutigkeit der
Primfaktor-Zerlegung gilt nur mehr, wenn man ihn
für Ideale formuliert.
In der Vorlesung behandeln wir neben der allgemeinen
Theorie relativ ausführlich als Beispiele
die quadratischen Zahlkörper und die Kreisteilungskörper,
in denen man viele allgemeine Phänomene explizit beschreiben kann.
Weitere Stichpunkte: Gitterpunkt-Theorie von Minkowski,
Endlichkeit der Klassenzahl, Dirichletscher Einheitensatz,
Dedekind-Ringe, Lokalisierung, Divisoren.
Wir gehen auch auf die Analogien zwischen
algebraischen Erweiterungen von Zahlkörpern und
Überlagerungen von algebraischen Kurven ein.
Für: Master-Studenten in Mathematik (oder Wirtschaftsmathematik)
Vorkenntnisse: Algebra (einschließlich Galois-Theorie)
Leistungsnachweis: Gilt für Master Mathematik (WP11), Master Wirtschaftsmathematik (WP58), jeweils 9 ECTS-Punkte.
Inhalt (Zu einigen der Paragraphen gibt es eine Ausarbeitung)- Funktionentheoretische Sichtweise der ganzen und der rationalen Zahlen (pdf)
- Ganz-algebraische Erweiterungen. Überlagerungen (pdf)
- Quadratische Zahlkörper (pdf)
- Norm-euklidische quadratische Zahlkörper (pdf)
- Kettenbrüche und Einheiten reell-quadratischer Zahlkörper
- Idealklassen quadratischer Zahlkörper
- Diskriminante und Ganzheitsbasen algebraischer Zahlkörper
- Kreisteilungs-Körper
- Dedekindringe
- Minkowskische Gitterpunkt-Theorie (pdf)
(aus einer Vorlesung "Einführung in die Zahlentheorie" im SS 2004)
Literatur
- J. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer.
- P. Ribenboim: Classical Theory of Algebraic Numbers. Springer
- P. Samuel: Théorie algébrique des nombres. Hermann
- S. Lang: Algebraic Number Theory. Springer
- A. Fröhlich/ M.J. Taylor: Algebraic number theory. Cambridge U.P.
- A. Leutbecher: Zahlentheorie. Springer
- D. Marcus: Number Fields. Springer
- I. Stewart/ D. Tall: Algebraic Number Theory and Fermat's Last Theorem. A.K.Peters
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