Department Mathematik
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Joachim Wehler
Mathematisches Institut
LMU München
Sommersemester 2019

Funktionentheorie

Sommersemester 2019 (Vorlesung 4+2)

Beschreibung

Zielgruppe

Literatur

Ãœbungen

Modulprüfung

Script

1. Beschreibung

Die Vorlesung Funktionentheorie ist in der Analysis eine Brücke vom Bachelorstudium zum Masterstudium.

Im Grundstudium haben Sie in der Analysis die Differential- und Integralrechnung von Funktionen einer oder mehrerer reller Veränderlicher gelernt. Die Funktionentheorie handelt nun von differenzierbaren Funktionen einer komplexen Veränderlichen: Das Argument hängt nur von einer einzigen Veränderlichen ab, aber diese ist eine komplexe Zahl. Ebenso ist der Funktionswert eine komplexe Zahl. Da die komplexen Zahlen einen Körper bilden, kann man komplexe Differenzierbarkeit völlig analog zur Differentialrechnung einer rellen Veränderlichen durch die Existenz des Differentialquotienten definieren. Eine komplex-differenzierbare Funktion heißt dann holomorph.

Viele wichtige Funktionen der Differentialrechnung einer rellen Veränderlichen sind in Wirklichkeit holomorphe Funktionen, d.h. ihr Argument läßt sich von der reellen Achse in die komplexe Ebene erweitern, und die Funktion wird dann holomorph. Solche Funktionen sind etwa die Polynome, die trigonometrischen Funktionen, die Exponentialfunktion und der Logarithmus. Diese Funktionen haben die Eigenschaft, daß sie sich lokal in eine konvergente Potenzreihe entwickeln lassen, d.h. sie sind analytisch. Aus Sicht der Funktionentheorie sind holomorphe Funktionen genau die komplex-analytischen Funktionen.

Die Funktionentheorie ist deswegen so interessant, weil die lokale Eigenschaft, analytisch zu sein, ganz unerwartete globale Eigenschaften von holomorphen Funktionen nach sich zieht. Erneut zeigt sich hier ein auch aus der Algebra bekanntes Phänomen: Eine tieferliegende und häufig einfachere mathematische Struktur wird erst sichtbar, wenn man die Frage im Kontext der komplexen Zahlen behandelt.

Zum Inhalt der Vorlesung siehe die detaillierte Beschreibung des Moduls WP6 "Funktionentheorie" im Modulhandbuch "Hauptfach: Bachelor of Science in Mathematik".

Zusätzlich zur Vorlesung findet wöchentlich eine 2-stündige Übung/Tutorium statt, in welcher die Studierenden ihre vorher bearbeiteten Hausaufgaben bzw. einfache Präsenzübungen vorrechnen sollen.

2. Zielgruppe

Studierende der Mathematik im Bachelorstudium. Physik- und TMP-Studierende.

Als Vorlesungszeit ist geplant: Montag und Mittwoch, 10-12 Uhr.

3. Literatur

  • Remmert, Reinhold; Schumacher, Georg: Funktionentheorie 1.
  • Jänich, Klaus: Funktionentheorie. Eine Einführung.
  • Fischer, Wolfgang; Lieb, Ingo: Funktionentheorie.
  • Ahlfors, Lars: Complex Analysis. An introduction to the theory of analytic functions of one complex variable.
Weitere Literatur in der Vorlesung.

4. Ãœbungen

Die Ãœbungen werden von Herrn Pascal Stucky betreut.

Seine Sprechzeit ist: Dienstag, 14-15 Uhr, Raum B415.

Zusätzlich zur Vorlesung findet wöchentlich eine 2-stündige Übung/Tutorium statt, in welcher die Studierenden ihre vorher bearbeiteten Hausaufgaben bzw. einfache Präsenzübungen vorrechnen sollen.

Bitte melden Sie sich an, wenn Sie an den Ãœbungen teilnehmen wollen

Aktuelle Übungsblätter

Lösungsskizzen (Stand: 02.07.19)

5. Modulprüfung

Die Modulprüfung findet in Form einer Klausur statt. Termin: Montag, 5.8. im Zeitraum 12:30 Uhr bis 15:30 Uhr. Der Ort wird noch bekannt gegeben.

Bitte melden Sie sich bis 26.7.2019, 12 Uhr, an, falls Sie an der Klausur teilnehmen wollen.

Die Anmeldung ist verbindlich.

Bitte bringen Sie zur Klausur Ihren Studentenausweis mit und ggf. für das Lichtbild Ihren Personalausweis oder Pass.

Die Aufgaben der Klausur werden in Deutsch gestellt, Sie können Ihre Lösungen in Deutsch oder Englisch formulieren. Es werden nur Lösungen gewertet, die mit Kugelschreiber oder Tinte (nicht in Grün oder Rot) geschrieben sind; Lösungen mit Bleistift werden nicht gewertet.

Als Hilfsmittel ist ein mitgebrachtes, handschriftlich beschriebenes DIN A4-Blatt (Vorder- und Rückseite) zugelassen. Papier zur Abgabe Ihrer Lösungen wird von uns gestellt.

Handys müssen während der Klausur ausgeschaltet und in Ihren Sachen verstaut sein. Ein aktives Handy während der Klausur zählt als Täuschungsversuch.

6. Script

Script

Das Script wird während der Vorlesung kontinuierlich fortgeschrieben. Noch offene Referenzen im Text verweisen auf spätere Abschnitte.