Department Mathematik
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Seminar: Langlands Correspondence V

Gemeinsam mit R. Gerkmann

SS 2012, Mi 14-16 Uhr, Hörsaal 116, Luisenstr. 37

In diesem Semester wollen wir unser Kenntnisse über Modulräume und Stacks vertiefen. Mehr dazu in der Ankündigung. Es werden je 6 Vorträge zu den zwei Bereichen gehalten.
Ein wesentliches Anliegen ist es, die Konstruktion der diversen Modulräume kennenzulernen, dabei verschiedene Methoden anzusprechen, und den Unterschied zu Modulstacks herauszustellen.
Inwiefern Stacks (oder wenigstens 'ordentliche' und algebraische Modulstacks) nahezu wie Varietäten behandelt werden können, wollen wir explizit an Beispielen von geometrischen Konzepten für Stacks herausarbeiten. Dazu gilt es den Begriff des algebraischen Stacks gründlich darzustellen.

Vorträge zu Modulräumen

Das Ziel dieses Seminarteils besteht darin, einen Einblick in die Konstruktionsprinzipien für grobe Modulräume von Prinzipalbündeln zu erhalten. Dabei geht es in M1-M3 zunächst um die Konstruktion des Quotienten bzgl. einer Gruppenoperation (z.B. zur Klassifikation von Hyperflächen festen Grades im Pn bis auf projektive Äquivalenz klassifizieren lassen), M4-M6 behandeln darauf aufbauend die Konstruktion von Modulräumen nach Mumford.
  • M1: Mi 9.5./16.5.12: Operation linearer algebraischer Gruppen auf VektorrÄumen (Reisert)
  • M2: 16.5./23.5.12: Allgemeine Gruppenoperationen und Konstruktion von Quotienten (Schottenloher)
  • M3: 30.5.12: Das Hilbert-Mumford-Kriterium (Gerkmann)
  • M4: 6.6./13.6.12: Klassifikation von Vektorraum-Bündeln; Konstruktion des Modulraums (Bild)
  • 4.7.12 M5: Das Klassifikationsproblem für Prinzipalbündel (Reisert)
  • M6: Konstruktion der Modulräume für Prinzipalbündel
Das detaillierte Programm dazu. Literatur:
  • D. Mumford, J. Fogarty, Geometric Invariant Theory. Springer-Verlag 2008
  • A. Schmitt, Geometric Invariant Theory and Decorated Principal Bundles. European Mathematical Society, 2008.

Vorträge zu Stacks

Wir beschränken uns als Leitfaden auf die Arbeit von Gomez [G]:
  • 20.6.12 S1: Stacks als 2-Funktoren (Gerkmann)
  • S2: Stacks als Kategorien bzw. Gruppoide über (Sch/S)
  • 11.7.12 S3: Algebraische Stacks (Schüller)
  • S4: Algebraische Stacks als Gruppoid-Räume
  • S5: Eigenschaften algebraischer Stacks I
  • S6: Eigenschaften algebraischer Stacks II
  • 18.7.12 S7: Vergleich: Modulstacks versus Modulräume (Schottenloher)
Auf S4 kann verzichtet werden, und S5, S6 können zusammengezogen werden.

Literatur:
[G] T.L. Gomez: Algebraic Stacks. Preprint arXiv (1999)
[BB] A. Beilinson / V. Drinfeld: Quantization of Hitchin's integrable System and Hecke eigensheaves. Preprint.

Links

  • http://www.ma.utexas.edu/users/benzvi/Langlands.html

Contact

Person Büro Emailadresse
Prof. Dr. Martin Schottenloher 440 schotten "at" math.lmu.de
Ralf Gerkmann 401 Ralf.Gerkmann "at" math.lmu.de
Christian Paleani 445 cpaleani "at" math.lmu.de