Seminar: Hauptvermutung der Iwasawatheorie Wintersemester 2018/19

Motivation

In der Iwasawatheorie studiert man die Klassengruppen von Zahlkörpern in unendlichen Körpertürmen. Die Anfänge dieser Theorie gehen zurück auf Kenkichi Iwasawa (1917-1999) und diese Theorie und ihre Verallgemeinerungen sind bis heute ein sehr aktive Forschungszweige (siehe e.g. IWASAWA 2017) der algebraischen Zahlentheorie. Einer der größten Erfolge bisher war der Beweis der Hauptvermutung der Iwasawatheorie für zyklotomische Erweiterungen in [MW84]. Die Hauptvermutung verbindet die Theorie der Klassengruppen von zyklotomischen Körpern mit der Welt der \(p\)-adischen \(L\)-Funktionen.

Ziel dieses Seminars ist es, die notwendigen Begriffe einzuführen, um die Aussage der Hauptvermutung verstehen zu können und dann in Richtung eines Beweises zu arbeiten. Dabei werden wir uns aber nicht den Originalbeweis aus [MW84] ansehen, sondern einen Beweis, der auf Arbeiten von Karl Rubin, Victor Kolyvagin und anderen (siehe Appendix zu [Lan90]] oder [Kol90]) beruht, näher studieren. Hauptreferenz ist dabei ein Buch von John Coates und Ramdorai Sujatha [CS06].

Vorkenntnisse

Algebraische Zahlentheorie: Theorie von Zahlkörpern im Umfang von Kapitel 1 in [Neu99] und Theorie der lokalen Körper im Umfang von Kapitel 2 in [Neu99]. Andere brauchbare Quellen, wo diese Themen behandelt werden sind: [Coh07] (für beides), [FT93] (Zahlkörper) und [Ser79] (lokale Körper).

Organisatorisches

Das Seminar findet mittwochs von 14.15 bis 16 Uhr statt in Raum B 039.

Vorläufiger Seminarplan

Wenn nichts anderes angegeben wird, beziehen sich die Referenzen hier immer auf [CS06].

• Woche 1 (17.10): Lokale Einheiten I (Jänich)

  pp. 13-18, Kapitel 2.1, 2.2 und in Kapitel 2.3 bis inkl. Lemma 2.3.2

  Ziel des Vortrags ist es, den Beweis von Theorem 2.1.2 vorzubereiten. Dieser besagt, dass man für eine norm-kompatible Sequenz in der Erweiterung \(\mathcal{F}_{\infty}=\mathbb{Q}(\mu_{p^{\infty}})\) eine spezielle kanonische Potenzreihe konstruieren kann. Der Beweis des Weierstraßschen Vorbereitungssatzes kann weggelassen werden.

• Woche 2 (24.10): Lokale Einheiten II (Knauer)

  pp. 19-26, Kapitel 2.3 und 2.4

  Ziel dieses Vortrags ist es nun, Theorem 2.1.2 zu beweisen und eine Einführung in die Theorie der logarithmischen Ableitung zu geben.

• Woche 3 (31.10): Lokale Einheiten III (Mattis)

  pp. 26-31, Kapitel 2.5-2.6

  Ziel des ersten Teils des Vortrags ist es, die Abbildung \(\mathcal{L}\) zu studieren. Ziel des zweiten Teils des Vortrags ist es, eine höhere logarithmische Ableitung von lokalen Einheiten \(\mathcal{U}_{\infty}\) zu definieren und einen Zusammenhang zu den Werten der Riemannschen \(\zeta\)-Funktion bei negativen ungeraden Zahlen herzustellen.

• Woche 4: Iwasawa-Algebren und \(p\)-adische Maße I (Hermelink)

  pp. 33-38, Kapitel 3.1-3.3

  Ziel in diesem Vortrag ist es kurz Iwasawa-Algebren zu definieren und dann eine Einführung in die Theorie der \(p\)-adischen Maße sowie der Mahler-Transformationen zu geben. Hier müssen wir leider (wie in unserer Quelle auch) ein paar (vorwiegend analytische) Resultate ohne Beweis akzeptieren.

• Woche 5: Iwasawa-Algebren und \(p\)-adische Maße II (Knauer)

  pp. 38-42, Kapitel 3.4-3.5

  Ziel dieses Vortrages ist es, die fundamentale exakte Squenz aus Theorem 3.5.1 sowie Proposition 3.5.2 zu beweisen. Falls noch Zeit übrig bleibt, kann man ausgewählte Inhalte aus Kapitel 3.6 präsentieren.

• Woche 6: Exkurs: Galois- und Modultheorie für die Iwasawatheorie (Hofer)

  pp. 101-105, pp. 107-109, Kapitel A.1 und A.3

  Hier wollen wir die Grundlagen für die nächsten Vorträge legen. Wir werden kurz über unendliche Galoistheorie, Struktursätze von Moduln über Iwasawa-Algebren und Galoiswirkung auf speziellen natürlichen Iwasawa-Moduln sprechen.

  Es gibt jetzt auch Notizen zu diesem Vortrag.

• Woche 7: \(p\)-adische Zetafunktion, Zyklotomische Einheiten und Iwasawas Theorem (Stucky)

  pp. 47-54, Kapitel 4.2-4.4, sowie pp.

  In diesem Vortrag wollen wir zuerst die Existenz der \(p\)-adischen \(\zeta\)-Funktion und dann noch ein wichtiges Theorem von Iwasawa (Theorem 4.4.1) beweisen, was einen Zusammehang zwischen der \(p\)-adischen \(\zeta\)-Funktion und dem Quotienten von lokalen Einseinheiten modulo der zyklotomischen Einheiten herstellt.

• Woche 8: Rund um die Hauptvermutung (Stucky)

  pp. 54-58, Kapitel 4.5

  Ziel des Vortrags ist es, die Hauptvermutung der Iwasawatheorie (Theorem 4.5.6) zu formulieren, sie in einem Spezialfall zu beweisen (Corollary 4.5.4) und eine äquivalente Formulierung zu finden (Proposition 4.5.7). Für diesen Vortrag benötigt man etwas globale Klassenkörpertheorie.

• Woche 9: Weitere Eigenschaften zyklotomischer Einheiten (TBD)

  pp. 58-62, Kapitel 4.6

  In diesem Vortrag sollte man zuerst kurz die Leopoldtsche Vermutung präsentieren. Danach wollen wir noch wichtige Eigenschaften des Quotienten \(U^{1}_{\infty}/C^{1}_{\infty}\) beweisen. Für diesen Vortrag benötigt man etwas lokale Klassenkörpertheorie.

• Woche 10 Globale Einheiten und Idealklassengruppen (Bullach)

  pp. 63-70, Kapitel 4.7-4.8

  In diesem Vortrag wollen wir einige Resultate über globale Einheiten und Idealklassengruppen sammeln, die wir später benötigen werden. Dieser Vortrag ist etwas länger, also sollten wir versuchen, dass der/die Vortragende 105 Minuten Zeit bekommt.

• Woche 11 Einführung in die Theorie der Eulersysteme (Cobbe)

  pp. 71-77, Kapitel 5.1-5.3

  Nach einem einführenden Beispiel wollen wir definieren was ein Eulersystem ist und uns dann noch überlegen warum es nicht offensichtlich ist, dass diese hilfreich beim Studieren von Idealklassengruppen von zyklotomischen Körpern sind (Kapitel 5.3).

• Woche 12 Der Faktorisierungssatz (Cobbe)

  pp. 77-84, Kapitel 5.4

  Ziel hier ist es Theorem 5.4.9 zu beweisen. Dieser Vortrag ist etwas länger, also sollten wir versuchen, dass der/die Vortragende 105 Minuten Zeit bekommt.

• Woche 13 Eine Anwendung des Satz von Chebotarev (Kleine)

  pp. 84-87, Kapitel 5.5

  In diesem Vortrag sollte zuerst kurz der Satz von Chebotarev vorgestellt werden und damit dann Theorem 5.5.1 bewiesen werden.

• Woche 14 Beweis der Hauptvermutung I (Kleine)

  pp. 90-97 (bis inkl. Corollary 6.2.6), Kapitel 6.1-6.2

  Das Ziel dieses Vortrags ist es Theorem 6.2.1 zu beweisen. Dieser Vortrag ist etwas länger, also sollten wir versuchen, dass der/die Vortragende 105 Minuten Zeit bekommt.

• Woche 15 Beweis der Hauptvermutung II + Anwendungen (Hofer)

  pp. 97-99 (ab Corollary 6.2.6), Kapitel 6.2-6.3, pp. 10-12

  Nach den Vorabeiten von Woche 14 kann nun der Beweis der Hauptvermutung der Iwasawatheorie vervollständigt werden. Danach bleibt wahrscheinlich noch etwas Zeit um beispielsweise den Satz von Herbrand-Ribet daraus herzuleiten.

  Es gibt jetzt auch Notizen zu diesem Vortrag.

Literatur