Humboldt-Stipendium
26.11.2012
Herr Dr. Christopher Frei hat ein Forschungsstipendium der Alexander von Humboldt-Stiftung erhalten. Ab dem 1.10.2012 kann er damit zwei Jahre lang am Mathematischen Institut in der Arbeitsgruppe von Prof. Derenthal an seinem Projekt "Counting points over number fields via universal torsors" arbeiten.
Hauptgegenstand der Untersuchungen ist die Verteilung der rationalen Lösungen einer gegebenen Diophantischen Gleichung. In der Sprache der Geometrie sind das die rationalen Punkte auf einer algebraischen Varietät. Für eine bestimmte Klasse von Varietäten, sogenannte Fano-Varietäten, bringt eine Vermutung von Manin die Verteilung dieser rationalen Punkte in Zusammenhang mit geometrischen Eigenschaften der Varietät.
Die arithmetische Geometrie, deren Ziel es ist, zahlentheoretische Eigenschaften von Varietäten aus deren geometrischer Struktur zu gewinnen, ist nicht nur an Varietäten über den rationalen Zahlen, sondern allgemeiner über algebraischen Zahlkörpern interessiert. Auch Manin hat seine Vermutung in dieser allgemeineren Situation formuliert.
Von besonderem Interesse ist zur Zeit die Untersuchung von Manins Vermutung für Fano-Varietäten der Dimension 2, sogenannte del Pezzo-Flächen. Hier wurden in den letzten Jahren wichtige Fortschritte erzielt, allerdings nur über den rationalen Zahlen und nicht über beliebigen Zahlkörpern. Die Beweise dieser Resultate haben einen Schritt gemeinsam, den Übergang zu einem sogenannten universellen Torsor der Fläche. Darunter versteht man eine Parametrisierung der rationalen Punkte der Fläche durch ganzzahlige Punkte einer höherdimensionalen Varietät.
Es ist nun ein natürliches Ziel, diese Vorgangsweise auf allgemeine Zahlkörper zu erweitern. In seinem Projekt will Dr. Christopher Frei anhand repräsentativer Spezialfälle Techniken zum Umgang mit jenen Problemen finden, die über den rationalen Zahlen nicht auftreten. Darauf aufbauend wird er einen möglichst allgemeinen Rahmen für Beweise der Manin-Vermutung über Zahlkörpern mit Hilfe von universellen Torsoren entwickeln.