Department Mathematik
print
Navigationspfad
Inhaltsbereich

Yorck Sommerhäuser

Vorlesungsbetreuung

Algebraische Zahlentheorie I

  • Wintersemester 2003/2004
  • Dozent: Y. Sommerhäuser
  • Zeit: Mittwoch, 9 Uhr c.t.
  • Raum: 251
  • Inhalt: Die Zahlentheorie ist eines der umfangreichsten mathematischen Gebiete, dessen Ursprünge sehr weit zurückreichen, das aber gleichzeitig auch gegenwärtig im Brennpunkt des Forschungsinteresses steht. Der Teil der Zahlentheorie, der als "algebraisch" bezeichnet wird, wurde im neunzehnten und beginnenden zwanzigsten Jahrhundert von Mathematikern wie
    E. Kummer, R. Dedekind, L. Kronecker, D. Hilbert, K. Hensel und H. Hasse, um nur einige zu nennen, begründet. Im ersten Semester wollen wir den idealtheoretischen Zugang nach Dedekind entwickeln. Wir beginnen mit dem Begriff der ganzalgebraischen Zahl in einer endlichen Körpererweiterung der rationalen Zahlen und zeigen, daß diese Zahlen einen Ring bilden. In diesen Ringen ist, wie zuerst E. Kummer erkannte, zwar eine eindeutige Zerlegung in Primzahlen nicht mehr möglich, dafür aber eine eindeutige Zerlegung in Primideale. Solche Ringe bezeichnet man als Dedekindringe. Wir besprechen die Idealklassengruppe, zeigen, wie sich Primzahlen und -ideale verhalten, wenn man sie in einem größeren Ring betrachtet, beweisen den Satz von Minkowski und diskutieren Diskriminanten und Differenten. Die gesamte Theorie läßt sich hervorragend an leicht zugänglichen Beispielen illustrieren, von denen wir viele explizit vorführen werden. Die Literatur zur algebraischen Zahlentheorie ist ausgesprochen umfangreich - unten ist nur eine kleine Auswahl angegeben. Wir werden uns vor allem an dem dort genannten Buch von
    J. Neukirch orientieren.
  • Literatur:
    • S. Borewicz/I. Safarevic: Zahlentheorie, Birkhäuser, Basel, 1966
    • H. Hasse: Zahlentheorie, Akademie-Verlag, Berlin, 1969
    • H. Koch: Zahlentheorie, Vieweg, Braunschweig, 1997
    • S. Lang: Algebraic Number Theory, Grad. Texts Math., Bd. 110, Springer, Berlin, 1994
    • W. Narciewicz: Elementary and Analytic Theory of Algebraic Numbers, 2. Aufl., Springer, Berlin, 1990
    • J. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie, Springer, Berlin, 1992