Mathematisches Kolloquium

Zusammenfassung: Bei Differentialspielen versuchen N Spieler ihre Kostenfunktionale zu minimieren, indem sie ihre Steuerungsfunktionen, über die sie entscheiden, optimal wählen. Die Steuerungen v sind über ein Differentialgleichungssystem gekoppelt. Z.B. könnte das Kostenfunktional des i-ten Spielers die Gestalt haben: integral von 0 bis t über (1/2) |v_i(t)|^2 + f_i(x(t)) dt wobei v und x über ein gewöhnliches Differentialgleichungssystem d/dt x =g(x,v) verknüpft sind. Jeder Spieler versucht sein Kostenfunktional zu minimieren. Die optimale Wahl der Steuerungen lässt sich über das Bellmansystem realisieren. Hierzu definiert man nach einem gewissen Formalismus über die Lagrangefunktion L_i des i-ten Spielers die Hamiltonfunktion H_i(x,p) des i-ten Spielers. In dem obigen Beispiel ist L_i(x,v,p) = (1/2) |v_i|^2 + f_i(x) + p_i g(x,v) Man sucht nun nach einem Nash Gleichgewicht v* der L_i und definiert die Hamiltonfunktion H_i(x,p) = L_i(x,v*(p),p) Das Bellman System lautet dann (u_i)_t = H_i(x,grad u) und wird von der Wertefunktion u=(u_1,...,u_N) der Spieler bzgl. der Anfangsbedingung des gewöhnlichen Differentialgleichungssystem erfüllt. Eine Feedbacksteuerung ist dann v*(grad u(t,x)). Wird das Differentialgleichungssystem durch Hinzufügen eines weissen Rauschens zu einem stochastischen Differentailgleichungssystem verändert, ergibt sich das Bellman System in Form einer parabolischen Differentialgleichung (nach Skalierung) (u_i)_t - Laplace u_i = H_i(x,grad u) Im Fall des "unendlichen Horizonts" wird in den Kostenfunktionalen bzgl. der Zeit von 0 bis unendlich integriert, mit einem konvergenzerzeugenden Diskontfaktor exp(-alpha t). Das Bellman System wird dann ein diagonales elliptisches System - Laplace u_i + alpha u_i = H_i(x,grad u) Dieses System wird auf Existenz und Regularität von Lösungen untersucht. Dies impliziert seinerseits die "Lösbarkeit" von Spielen. Stochastische Überlegungen spielen keine Rolle, zum Verständnis des Vortrags wird keinerlei Kenntnis der stochastischen Analysis benötigt. Ziel des Vortrag ist es, aufzuzeigen, wieweit die heutige Theorie der partiellen Differentialgleichungen geeignet ist, die bei Differentialspielen auftretenden Bellman Systeme zu behandeln. Es gibt sehr "vernünftig" aussehende Spiele, die lösbar sein sollten, aber die Theorie der partiellen Differentialgleichungen steht ratlos vor deren Bellman System. Im "einfachsten" Fall ist das stochastische Differentialgleichungssystem linear in den Steuerungen und die Kostenfunktion quadratisch in denselben. Es lassen sich menschliche Schwächen und Stärken wie Ängstlichkeit, Gemeinheit, Egozentrik und Generosität in den Kostenfunktionalen und der Dynamik modellieren. Die dies modellierenden Terme finden sich in den Hamilton-Funktionen wieder und beeinflussen die Wahl der analytischen Techniken, die man für Regularitätsabschätzungen benötigt, bzw. ermöglichen diese erst oder verhindern sie.

Alle Interessierten sind hiermit herzlich eingeladen. Eine halbe Stunde vor dem Vortrag gibt es Kaffee und Tee im Sozialraum (Raum B448) im 4. Stock.

Treffpunkt zum Abendessen wird noch bekannt gegeben.