Mathematisches Kolloquium

Zusammenfassung: Ornstein-Uhlenbeck-Typ Operatoren beschreiben Diffusionsprobleme, die durch einen unbeschränkten Drift gestört sind. Sie ergeben sich natürlicherweise bei der Untersuchung stochastischer Störungen (gewöhnlicher bzw. partieller) Differenzialgleichungen. In einem konkreten Beispiel zeigen wir die Anwendbarkeit der Theorie der Einparameter-Operatorhalbgruppen in Räumen integrierbarer Funktionen bezüglich einem geeigneten, so genannten invarianten Maß. Oft ist jedoch das Problem in Räumen stetiger Funktionen zu untersuchen. Für diesen Zweck wird eine Verallgemeinerung des Begriffs der stark stetigen Opertorenhalbgruppen gebraucht, welche im Vortrag diskutiert wird. Weiterhin werden die typischen Fragestellungen mithilfe dieser Theorie untersucht: Regularität der Lösungen, Störungen der Gleichungen, Existenz und Eindeutigkeit von invarianten Maßen, Ergodizität der zugehörigen Halbgruppen. Besonders interessant ist der Fall von degenerierter Diffusion. Man gelangt dann zu hypoelliptischen Operatoren, für welche die Regularitätstheorie sehr überraschend aussieht.