Elliptische Funktionen und Elliptische Kurven
Vorlesung von O. Forster im WS 2019/20am Mathematischen Institut der LMU München
Mi 14-16, HS A027,
mit
Übungen
Fr 14-16, A027
Beschreibung
Elliptische Funktionen sind analytische doppeltperiodische Funktionen
in der komplexen Ebene. Sie entstanden historisch als
Umkehrfunktionen der elliptischen Integrale (die bei der
Berechnung der Bogenlänge von Ellipsen auftauchen).
Elliptische Funktionen lassen sich auffassen als Funktionen
auf Tori (das sind Riemannsche Flächen, die als Quotient
der komplexen Zahlenebene nach einem Gitter entstehen).
Diese Tori sind wiederum isomorph zu elliptischen Kurven,
die durch eine Gleichung 3. Grades in der projektiven
Ebene definiert werden, und die nicht nur über dem
Körper der komplexen Zahlen, sondern auch über anderen
(z.B. endlichen) Körpern betrachtet werden können.
Die Untersuchung der Isomorphieklassen von Tori
führt zur Modulgruppe und zur Theorie der
Modulfunktionen.
Auch in der algorithmischen Zahlentheorie und Kryptographie
werden elliptische Kurven verwendet. Die Vorlesung soll
eine Einführung in diese interessante Theorie geben.
für:
Studierende im Masterstudiengang Mathematik
(Anrechnungs-Möglichkeit WP 47.2/47.3 oder WP 48.2/48.3,
jeweils 6 ECTS-Punkte)
Vorkenntnisse: Funktionentheorie, Grundkenntnisse aus Algebra und Topologie
Inhalt:
- Perioden holomorpher und meromorpher Funktionen
- Die Weierstraßsche Pe-Funktion
- Elliptische Kurven
- Thetafunktionen, Abelsches Theorem (pdf)
- Modulgruppe, Modulfunktionen
- Komplexe Multiplikation
Literatur:
- S. Lang: Elliptic Functions. Addison-Wesley
- Koecher/Krieg: Elliptische Funktionen und Modulformen. Springer
- Husemöller: Elliptic curves. Springer
- Silverman: The Arithmetic of Elliptic Curves. Springer
- Koblitz: Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms. Springer
- L.C. Washington: Elliptic Curves. Number Theory and Cryptography. CRC
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Otto Forster 2019-07-21