Department Mathematik
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Elliptische Funktionen und Elliptische Kurven

Vorlesung von O. Forster im WS 2019/20
am Mathematischen Institut der LMU München

Mi 14-16, HS A027,
mit Übungen Fr 14-16, A027


Die Klausur fand am Mittwoch, 5. Februar 2020, 14 - 16 Uhr im Hörsaal A027 statt.

Klausur-Ergebnisse


Beschreibung
Elliptische Funktionen sind analytische doppeltperiodische Funktionen in der komplexen Ebene. Sie entstanden historisch als Umkehrfunktionen der elliptischen Integrale (die bei der Berechnung der Bogenlänge von Ellipsen auftauchen). Elliptische Funktionen lassen sich auffassen als Funktionen auf Tori (das sind Riemannsche Flächen, die als Quotient der komplexen Zahlenebene nach einem Gitter entstehen). Diese Tori sind wiederum isomorph zu elliptischen Kurven, die durch eine Gleichung 3. Grades in der projektiven Ebene definiert werden, und die nicht nur über dem Körper der komplexen Zahlen, sondern auch über anderen (z.B. endlichen) Körpern betrachtet werden können.
Die Untersuchung der Isomorphieklassen von Tori führt zur Modulgruppe und zur Theorie der Modulfunktionen. Auch in der algorithmischen Zahlentheorie und Kryptographie werden elliptische Kurven verwendet. Die Vorlesung soll eine Einführung in diese interessante Theorie geben.

für: Studierende im Masterstudiengang Mathematik
(Anrechnungs-Möglichkeit WP 47.2/47.3 oder WP 48.2/48.3, jeweils 6 ECTS-Punkte)

Vorkenntnisse: Funktionentheorie, Grundkenntnisse aus Algebra und Topologie

Inhalt:

  1. Perioden holomorpher und meromorpher Funktionen
  2. Die Weierstraßsche Pe-Funktion
  3. Elliptische Kurven
  4. Thetafunktionen, Abelsches Theorem   (pdf)
  5. Modulgruppe, Modulfunktionen
  6. Komplexe Multiplikation

Literatur:

  • S. Lang: Elliptic Functions. Addison-Wesley
  • Koecher/Krieg: Elliptische Funktionen und Modulformen. Springer
  • Husemöller: Elliptic curves. Springer
  • Silverman: The Arithmetic of Elliptic Curves. Springer
  • Koblitz: Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms. Springer
  • L.C. Washington: Elliptic Curves. Number Theory and Cryptography. CRC

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Otto Forster 2019-07-21