Einführung in die Zahlentheorie
Vorlesung von O. Forster im SS 2017am Mathematischen Institut der LMU München
Mi, Fri 14-16, HS A027, Theresienstr. 39
Übungen Mi 16-18 (A027)
Beschreibung
Nach Gauß ist die Mathematik die Königin
der Wissenschaften und die Zahlentheorie ist die
Königin der Mathematik.
Ziel der Vorlesung ist eine Einführung in dieses
Gebiet.
Ein besonderes Interesse gilt dabei den Primzahlen: Primfaktorzerlegung, Primzahltests, Primitivwurzeln modulo Primzahlen und Primzahl-Potenzen, quadratische Reste, Gaußsches Reziprozitätsgesetz. Abschätzungen zur Verteilung der Primzahlen, Bertrandsches Postulat, Satz von Dirichlet über die Primzahlen in arithmetischen Progressionen, Zerlegungs-Verhalten von Primzahlen in quadratischen Erweiterungen.
Weitere Stichpunkte: Arithmetische Funktionen, Dirichlet-Faltung, Möbiussche Umkehrformeln, Diophantische Gleichungen, Vier-Quadrate-Satz von Lagrange, Drei-Quadrate-Satz von Gauß.
In den letzten Jahrzehnten ist die Zahlentheorie für die moderne Kryptographie unentbehrlich geworden. Deshalb gehen wir auch kurz auf die zahltentheoretischen Grundlagen der Public Key Kryptographie ein.
Vorkenntnisse
Anfänger-Vorlesungen in Analysis und Linearer Algebra.
Für
Hauptsächlich für
Bachelor-Studenten in Mathematik;
Anrechnung z.B.
nach der Bachelor-Prüfungsordnung Mathematik (2015)
als WP 20.
Gliederung
- Teilbarkeit, Primfaktor-Zerlegung
- Irreduzibilität und Primalität in Integritäsbereichen
- Kongruenzen
- Arithmetische Funktionen
- Elementare Abschätzungen zur Primzahl-Verteilung
- Primitivwurzeln
- Quadratische Reste, Reziprozitätsgesetz
- Primzahltests
- Anwendungen in der Kryptographie
- Summen von zwei und vier Quadraten
- Primzahlen in arithmetischen Progressionen
- Legendre-Gleichung und Drei-Quadrate-Satz von Gauß
Literatur
- T. Apostol: Introduction to Analytic Number Theory. Springer
- O. Forster: Algorithmische Zahlentheorie. Springer-Spektrum
- Kraft / Washington: An Introduction to Number Theory with Cryptography. CRC Press
- Müller-Stach / Piontkowski: Elementare und algebraische Zahlentheorie. Vieweg+Teubner
- Remmert / Ullrich: Elementare Zahlentheorie. Birkhäuser
- Scheid / Frommer: Zahlentheorie. Springer-Spektrum
Vorlesungen vergangener Semester
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Otto Forster 2017-10-15