Dirichletreihen und Zetafunktionen
Vorlesung von O. Forster im WS 2014/15am Mathematischen Institut der LMU München
Mi, Fr 14-16, HS A027, Theresienstr. 39
mit 2std. Übungen Mo 14-16 (A027)
Beschreibung
(Dies ist eine Vorlesung Funktionentheorie II und gleichzeitig
eine Einführung in die Analytische Zahlentheorie)
Dirichletreihen sind Reihen der Gestalt
wobei s eine komplexe Variable ist. Im Gegensatz
zu Potenzreihen, deren Konvergenzgebiete Kreise sind,
konvergieren Dirichletreihen in Halbebenen der
Gestalt Re(s) > c. Die bekannteste Dirichletreihe
ist die Riemannsche Zetafunktion, bei der alle
Koeffizienten a_n = 1 sind. Sie konvergiert in der
Halbebene Re(s) > 1. Bereits Euler stellte einen
Zusammenhang zur Zahlentheorie her, indem er zeigte,
dass die Divergenz der Zetareihe für s = 1 (harmonische
Reihe) impliziert, dass die Summe der reziproken Primzahlen
1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + ... ebenfalls divergiert.
Dirichlet benutzte die nach ihm benannten Reihen, um
den Satz über Primzahlen in arithmetischen Progressionen
zu beweisen (z.B. gibt es asymptotisch etwa gleich viele
Primzahlen der Form 4n+1 und 4n+3).
Riemann zeigte,
dass man die Zetafunktion holomorph in die ganze
komplexe Ebene bis auf einen Pol an der Stelle s=1
fortsetzen kann und bewies (mithilfe der Gamma- und
Thetafunktion) eine Funktionalgleichung der Zetafunktion,
die eine gewisse Symmetrie um den Punkt s=1/2 ausdrückt.
Dabei stellte er die berühmte, bis heute unbewiesene
Vermutung auf, dass alle nicht-trivialen Nullstellen der
Zetafunktion auf der Geraden Re(s)=1/2 liegen. Diese
Vermutung hängt eng mit Eigenschaften der Primzahlverteilung
zusammen. Außer der Riemannschen Zetafunktion behandeln
wir in der Vorlesung noch die Dedekindschen Zetafunktionen
für quadratische Zahlkörper, das sind Körper, die aus
den rationalen Zahlen durch Adjunktion der Wurzel aus
einer Nicht-Quadratzahl entstehen.
Literatur
- Apostol: Introduction to analytic number theory. Springer 1976
- Edwards: Riemann's Zeta Function. Academic Press 1974. Nachdruck Dover
- Zagier: Zetafunktionen und quadratische Körper. Springer 1981
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Otto Forster 2015-07-07