Elliptische Funktionen und Elliptische Kurven
Vorlesung von O. Forster im WS 2010/11am Mathematischen Institut der LMU München
Mi 14-16, HS A027, Theresienstr. 39
Übungen dazu 14-tägl. Fr 14-16, A027
Beschreibung
Elliptische Funktionen sind analytische doppeltperiodische Funktionen
in der komplexen Ebene. Sie entstanden historisch als
Umkehrfunktionen der elliptischen Integrale (die bei der
Berechnung der Bogenlänge von Ellipsen auftauchen).
Elliptische Funktionen lassen sich auffassen als Funktionen
auf Tori (das sind Riemannsche Flächen, die als Quotient
der komplexen Zahlenebene nach einem Gitter entstehen).
Diese Tori sind wiederum isomorph zu elliptischen Kurven,
die durch eine Gleichung 3. Grades in der projektiven
Ebene definiert werden, und die nicht nur über dem
Körper der komplexen Zahlen, sondern auch über anderen
(z.B. endlichen) Körpern betrachtet werden können.
Die Theorie der elliptischen Funktionen und Kurven ist
ein klassischer Gegenstand der Funktionentheorie und hat
viele Verbindungen zur Zahlentheorie. In neuerer Zeit
hat diese Theorie wieder verstärktes Interesse gefunden,
da sie u.a. beim Beweis der Fermatschen Vermutung eine
große Rolle spielt. Auch in der algorithmischen Zahlentheorie
und Kryptographie
werden elliptische Kurven verwendet. Die Vorlesung soll
eine Einführung in diese interessante Theorie geben.
für: Studentinnen und Studenten der Mathematik im Hauptstudium
Vorkenntnisse: Funktionentheorie; auch Grundkenntnisse aus der Algebra sind nützlich
Inhalt:
- Die Liouvilleschen Sätze über doppelt-periodische Funktionen
- Die Weierstraßsche Pe-Funktion
- Der Körper der elliptischen Funktionen
- Elliptische Kurven
- Gruppenstruktur auf elliptischen Kurven; Abelsches Theorem
- Die Modulgruppe
- Modulfunktionen und Modulformen
- Die absolute Modulfunktion
- Fourier-Entwicklung von Modulfunktionen
- Komplexe Multiplikation
Literatur:
- S. Lang: Elliptic Functions. Addison-Wesley
- Koecher/Krieg: Elliptische Funktionen und Modulformen. Springer
- Husemöller: Elliptic curves. Springer
- Silverman: The Arithmetic of Elliptic Curves. Springer
- Koblitz: Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms. Springer
- L.C. Washington: Elliptic Curves. Number Theory and Cryptography. CRC
- Cohen/Frey: Handbook of Elliptic and Hyperelliptic Curve Cryptography. CRC
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Otto Forster 2010-09-27