Elliptische Funktionen und Elliptische Kurven
Vorlesung von O. Forster im WS 2007/08am Mathematischen Institut der LMU München
Mi, Fr 14-16, HS B006, Theresienstr. 39
Übungen dazu Mi 16-18, B006
Beschreibung
Elliptische Funktionen sind analytische doppeltperiodische Funktionen
in der komplexen Ebene. Sie entstanden historisch als
Umkehrfunktionen der elliptischen Integrale (die bei der
Berechnung der Bogenlänge von Ellipsen auftauchen).
Elliptische Funktionen lassen sich auffassen als Funktionen
auf Tori (das sind Riemannsche Flächen, die als Quotient
der komplexen Zahlenebene nach einem Gitter entstehen).
Diese Tori sind wiederum isomorph zu elliptischen Kurven,
die durch eine Gleichung 3. Grades in der projektiven
Ebene definiert werden, und die nicht nur über dem
Körper der komplexen Zahlen, sondern auch über anderen
(z.B. endlichen) Körpern betrachtet werden können.
Die Theorie der elliptischen Funktionen und Kurven ist
ein klassischer Gegenstand der Funktionentheorie und hat
viele Verbindungen zur Zahlentheorie. In neuerer Zeit
hat diese Theorie wieder verstärktes Interesse gefunden,
da sie u.a. beim Beweis der Fermatschen Vermutung eine
große Rolle spielt. Auch in der algorithmischen Zahlentheorie
und Kryptographie
werden elliptische Kurven verwendet. Die Vorlesung soll
eine Einführung in diese interessante Theorie geben.
für: Studentinnen und Studenten der Mathematik im Hauptstudium
Vorkenntnisse: Funktionentheorie I und Algebra I
Schein gilt für Hauptdiplom, Reine Mathematik
Inhalt:
- Perioden holomorpher und meromorpher Funktionen
- Die Weierstraßsche Pe-Funktion
- Elliptische Kurven
- Additionstheorem der Pe-Funktion; Abelsches Theorem
- Die Modulgruppe. Modulfunktionen
- Isogenien. Komplexe Multiplikation
- Bewertungen von Funktionenkörpern
- Derivationen. Differentialformen
- Zetafunktionen und L-Funktionen
Literatur:
- S. Lang: Elliptic Functions. Addison-Wesley
- Koecher/Krieg: Elliptische Funktionen und Modulformen. Springer
- Husemöller: Elliptic curves. Springer
- Silverman: The Arithmetic of Elliptic Curves. Springer
- Silverman/Tate: Rational Points on Elliptic Curves. Springer
- L.C. Washington: Elliptic Curves. Number Theory and Cryptography. CRC
- McKean/Moll: Elliptic Curves. Cambridge UP
- Cohen/Frey: Handbook of Elliptic and Hyperelliptic Curve Cryptography. CRC
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Otto Forster 2007-10-14