Department Mathematik
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Darstellungen endlicher Gruppen

Vorlesung von O. Forster
am Mathematischen Institut, LMU München

Winter-Semester 2006/07,
Mittwoch 14-16,   Raum B006

Übungen: Fr 14-16,   Raum B006 (14-tägig)

Beschreibung:
Eine Darstellung einer Gruppe G ordnet jedem Gruppenelement eine invertierbare Matrix zu, und zwar so, dass dem Produkt zweier Gruppenelemente das Produkt der zugeordneten Matrizen entspricht. Abstrakt gesprochen ist also eine Darstellung ein Homomorphismus von G in die Automorphismen-Gruppe eines Vektorraums. Darstellungen treten z.B. auf, wenn in der Physik ein Sachverhalt, der einer gewissen Symmetrie unterliegt, durch eine lineare Differentialgleichung beschrieben wird. Dann erhält man eine Darstellung der Symmetriegruppe in die Gruppe der Automorphismen des Lösungsvektorraums der DGl. In der Darstellungstheorie versucht man, eine Übersicht über alle möglichen Darstellungen zu erhalten. Einige Stichworte: Äquivalenz von Darstellungen, Zerlegung in irreduzible Darstellungen, Orthogonalitätsrelationen. Eine wichtige Rolle spielen auch die sog. Charaktere einer Darstellung, das sind die Spuren der darstellenden Matrizen. In der Vorlesung werden die wichtigsten Tatsachen aus der Darstellungstheorie endlicher Gruppen besprochen, mit gelegentlichen Ausblicken auf die Darstellung kompakter Gruppen.

Für: Mathematiker und Physiker nach dem Vordiplom.

Vorkenntnisse: Vordiploms-Stoff Lineare Algebra und Analysis. Vorlesung Algebra I wünschenswert, aber nicht unbedingt erforderlich

Gliederung

  1. Definitionen und erste Beispiele
  2. Der Satz von Maschke
  3. Das Schursche Lemma
  4. Kompakte Gruppen. Unitäre Darstellungen
  5. Die Gruppenalgebra
  6. Der Satz von Wedderburn über halbeinfache Algebren
  7. Charaktere. Orthogonalitätsrelationen
  8. Charaktere und ganz-algebraische Zahlen   (pdf)
  9. Die Gruppen der Platonischen Körper  (Bild Dodekaeder  pdf)

Literatur

  • J.-P. Serre: Représentations linéaires des groupes finis. Herman Paris.
    (Es gibt auch eine deutsche und eine englische Übersetzung)
  • Curtis/Reiner: Representation theory of finite groups and associative algebras. Interscience
  • B. Huppert: Character theory of finite groups. W. de Gruyter
  • Barry Simon: Representations of finite and compact groups. AMS
  • H. Boerner: Darstellungen von Gruppen. Springer

Vorlesungen vergangener Semester

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Otto Forster 2006-07-10