Department Mathematik
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Einführung in die Zahlentheorie

4std. Vorlesung mit 2 std. Übungen von O. Forster
Sommer-Semester 2004, Mathematisches Institut, LMU München

Zeit und Ort: Mi, Fri 11-13, E05

Übungen

Beschreibung: Die Vorlesung gibt eine Einführung in die Zahlentheorie, nach Gauß die "Königin der Mathematik"; beginnend mit der elementaren Teilbarkeitslehre bis zum quadratischen Reziprozitätsgesetz und den Anfangsgründen der Theorie der quadratischen Zahlkörper. Einige weitere Stichworte: Euklidischer Algorithmus, Fibonacci-Zahlen, Mersennesche Primzahlen, kleiner Satz von Fermat, chinesischer Restsatz, Primitivwurzeln, Primzahltests, Vier-Quadrate-Satz, Kettenbrüche. Wir werden auch auf algorithmische Aspekte eingehen und von der Möglichkeit Gebrauch machen, die Aussagen der Zahlentheorie durch nicht-triviale Beispiele auf dem Computer zu illustrieren. Außerdem gehen wir auf einige Anwendungen ein, die die Zahlentheorie in der sog. Public-Key-Kryptographie gefunden hat.

Gliederung

  1. Die Fibonacci-Zahlen
  2. Teilbarkeit. Der Euklidische Algorithmus
  3. Primfaktor-Zerlegung
  4. Die Menge der Primzahlen. Bertrandsches Postulat
  5. Idealtheoretische Interpretation der Teilbarkeit
  6. Rechnen mit Kongruenzen. Chinesischer Restsatz
  7. Arithmetische Funktionen. Möbiussche Umkehrformel
  8. Die Sätze von Fermat, Euler und Wilson
  9. Primitivwurzeln
  10. Periodische Dezimalbrüche
  11. (p-1)-Primzahltests
  12. Einfache Faktorisierungs-Methoden
  13. Der diskrete Logarithmus
  14. Public-Key-Kryptographie
  15. Quadratische Gleichungen modulo m
  16. Das Quadratische Reziprozitätsgesetz
  17. Probabilistische Primzahltests
  18. Quadratische Erweiterungen
  19. Der (p+1)-Primzahltest. Mersennesche Primzahlen
  20. Summen von Quadraten

Vorkenntnisse: Einige Grundkenntnisse aus der Algebra und Analysis (Begriffe Gruppe, Ring, Körper, Homomorphismus, Komplexe Zahlen), wie man sie im 1. Semester erwirbt. Im Bedarfsfall werden für Teilnehmer, die diese Kenntnisse noch nicht besitzen, in einigen Zusatz-Vorlesungsstunden diese Begriffe bereitgestellt.

Für: Studierende der Mathematik und Informatik aller Semester mit Interesse an Zahlentheorie und sonstige Liebhaber der Zahlentheorie

Vorlesungen vergangener Semester

Bücher/Books    Eprints    Software
Otto Forster 2004-01-07