Department Mathematik
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Elliptische Funktionen und elliptische Kurven

Vorlesung von O. Forster im WS 2000/01
am Mathematischen Institut der LMU München

Mo, Mi 9-11, HS 138, Theresienstr. 39
mit Übungen

Beschreibung
Elliptische Funktionen sind doppeltperiodische Funktionen in der komplexen Ebene. Sie entstanden historisch als Umkehrfunktionen der elliptischen Integrale (die bei der Berechnung der Bogenlänge von Ellipsen auftauchen). Elliptische Funktionen lassen sich auffassen als Funktionen auf Tori (das sind Riemannsche Flächen, die als Quotient der komplexen Zahlenebene nach einem Gitter entstehen). Diese Tori sind wiederum isomorph zu elliptischen Kurven, die durch eine Gleichung 3. Grades in der projektiven Ebene definiert werden, und die nicht nur über dem Körper der komplexen Zahlen, sondern auch über anderen (z.B. endlichen) Körpern betrachtet werden können.
Die Theorie der elliptischen Funktionen und Kurven ist ein klassischer Gegenstand der Funktionentheorie und hat viele Verbindungen zur Zahlentheorie. In den letzten Jahren hat diese Theorie wieder verstärktes Interesse gefunden, da sie u.a. beim Beweis der Fermatschen Vermutung eine große Rolle spielt. Auch in der modernen Kryptographie werden elliptische Kurven verwendet. Die Vorlesung soll eine Einführung in diese interessante Theorie geben.

für: Studentinnen und Studenten der Mathematik ab dem 5. Semester
Vorkenntnisse: Funktionentheorie I.

Gliederung

  1. Allgemeine Sätze über doppelt-periodische Funktionen
  2. Die Weierstrass'sche Pe-Funktion
  3. Die Differentialgleichung der Weierstrass'schen Pe-Funktion
  4. C/Gitter als Riemannsche Fläche
  5. Projektiv-algebraische Kurven
  6. Funktionenkörper algebraischer Kurven
  7. Bewertungen, Stellenringe
  8. Divisoren, Picardgruppe
  9. Der Differentialmodul des Funktionenkörpers
  10. Die Gruppenstruktur einer elliptischen Kurve
  11. Isomorphismen, Endomorphismen, Isogenien
  12. Modulfunktionen

Literatur:

  • S. Lang: Elliptic Functions. Addison-Wesley
  • Husemöller: Elliptic curves. Springer
  • Cassels: Lectures on Elliptic Curves. London Math. Soc.
  • Silverman/Tate: Rational Points on Elliptic Curves. Springer
  • Silverman: The Arithmetic of Elliptic Curves. Springer
  • Blake/Seroussi/Smart: Elliptic Curves in Cryptography. Cambridge UP

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Otto Forster 2000-07-12