Mathematisches Institut
der Universität München
Prof. D. Kotschick, D. Phil.
Seminar Mannigfaltigkeiten im SS 2014
Thema des Seminars ist die Hodge-de Rham Theorie. Dabei geht es vor allem um harmonische Differentialformen auf kompakten Riemannschen Mannigfaltigkeiten. Diese Theorie hat weitreichende Anwendungen sowohl in der Riemannschen Geometrie, als auch in der
komplexen/algebraischen Geometrie.
Am Anfang stehen eine Einführung in die Garben-Kohomologie, und der Beweis des Satzes von de Rham über die Isomorphie der singulären und der de Rham Komologie von differenzierbaren Mannigfaltigkeiten. (Vorkenntnisse in algebraischer Geometrie oder Topologie sind nützlich, aber nicht notwendig, und werden nicht vorausgesetzt.) Anschliessend diskutieren wir den Satz von Hodge, der besagt, dass auf einer kompakten Riemannschen Mannigfaltigkeit jede Kohomologie-Klasse in der de Rham Kohomologie genau eine harmonische Form enthält.
Zwei der Vorträge zum Satz von Hodge sind recht analytisch, und geben eine Einführung in die Regularitätstheorie elliptischer Differentialoperatoren auf Mannigfaltigkeiten.
Im letzten Teil des Seminars geht es um differentialgeometrische Anwendungen des Satzes von Hodge. Dabei wird die sogenannte
Bochner-Methode entwickelt, um topologische Eigenschaften von speziellen Riemannschen Mannigfaltigkeiten (z.B. mit Krümmungs-Bedingungen) zu untersuchen.
Das Seminar eignet sich als Fortsetzung meiner Vorlesungen Differenzierbare Mannigfaltigkeiten im WS 2013/14, und zur Ergänzung der Vorlesung Riemannsche Geometrie im SS 2014.
Literatur:
F. Warner: Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Springer GTM 94
P. Petersen: Riemannian Geometry, Springer GTM 171
Voraussichtlicher Termin : Mittwoch 16-18 Uhr im HS B 039
Vortragsplan