MATHEMATIK FÜR  NATURWISSENSCHAFTLER - I


Wintersemester 2014/2015
   

Mathe II, SoSe 15



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Hausaufgaben
Woche 01
Woche 02
Woche 03
Woche 04
Woche 05
Woche 06
Woche 07
Woche 08
Woche 09
Woche 10
Woche 11
Woche 12
Woche 13


Klausuren
Übungsklausur (22.12.2014)
Endklausur (31.01.2015)
Nachholklausur (18.04.2015)



Kurstagebuch

WOCHE 14 (19.01.2015)
  • Anwendungen des Hauptsatzes der Integralrechnung: Volumenberechnung von Rotationskörpern. Volumen des Kegelstumpfes. Volumen der Kugel.
  • Anwendungen des Hauptsatzes der Integralrechnung: Geschwindigkeit und Weg als Funktionen der Zeit; Galileischen Gesetze.

WOCHE 13 (12.01.2015)
  • Eigenschaftern des Bestimmtes Integrals. Linearität des Integrals. Monotonie del Integrals. Mit f ist auch |f| integrierbar.  Betrag von Integral kleiner als Integral von Betrag. Zerlegun des Integrationsintervalls.
  • Integralfunktion zu f. Die Integralfunktion ist stetig (im Allgemeinen jedoch nicht differenzierbar).
  • Stammfunktion zu f. Eine Stammfunktion, falls existent, ist nicht eindeutig bestimmt. Zwei Stammfunktionen unterscheiden sich nur durch eine additive Konstante.
  • Unbestimmtes Integral.
  • Mittelwertsatz der Integralrechnung (mit Beweis).
  • Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (mit Beweis). Der Hauptsatz gibt uns die Möglichkeit, bei stetigen Funktionen das bestimmte Integral mit Hilfe einer Stammfunktion auszurechnen.
  • Beispiele und Formelsammlung (Tafel der Grundintegrale).

WOCHE 12 (22.12.2014)
  • Integralrechnung. Motivierung. Die Aufgabenstellung: der Fläche unter einer Kurve eine Maßzal als Flächeninhalt zuzuordnen.
  • Zerlegung von [a,b]. Feinheit der Zerlegung. Zwischenstellen und Riemann-Summe von f (wir betrachen zunächst nur beschränkte reelwertige Funktionen, welche ein beschränktes, abgeschlossenes Intervall als Definitionsbereich besitzen).
  • Das bestimmte Integral als Grenzwert der Zerlegungsfolge (fur jede Wahl der Zwischenstellen!!).
  • In  \displaystyle \int_a^b f(x)\,dx gehen Flächen, die unterhalb der x-Achse liegen, mit negativem Voreichen ein.
  • Integrierbarkeit. Die konstante Funktion f(x)=c ist integrierbar mit \displaystyle \int_a^b f(x)\,dx = c(b-a). Die Identitätsfunktion f(x)=x ist auch integrierbar mit \displaystyle \int_a^b f(x)\,dx (b²-a²). Die quadratische Funtkion f(x)=x² ist integrierbar mit \displaystyle \int_a^b f(x)\,dx =(b³-a³)/3. (MIT BEWEIS!!)
  • Jede monotone Funktion f:[a,b]→R ist integrierbar.
  • Jede stetige Funktion f:[a,b]→R ist integrierbar.
  • Jede beschränkte Funktion f:[a,b]→R, die nur in endlich vielen Stellen nicht stetig ist, ist integrierbar.
  • Ändert man eine integrierbare Funktion f an endlich vielen Stellen ab, so bleibt die Integrierbarkeit und auch der Wert des Integrals erhalten.

WOCHE 11 (15.12.2014)
  • Lokale Extrema. Notwendiges Kriterium für ein Extremum (f'(x)=0). Hinreichende Kriterien für ein Extremum (Wechsel des Vorzeicnes von f').
  • Wendepunkte (=> f''(x)=0).
  • Kurvendiskussion: (1) Definitionsbereich D, (2) Nullstellen, (3) Lokale Minima/Maxima, (4) Krümmungssin der Kurve (konvex/konkav) und Wendepunkte, (5) Grenzwerte bei x→∞, bzw. x→Rand von D, (6) Kurvenverlauf in einem Schaubild.
  • Kurvendiskussion: Beispiele.
  • Regel von de l'Hospital, Fall 0/0.
  • Regel von de l'Hospital, Fall ∞/∞.

WOCHE 10 (8.12.2014)
  • Satz von Rolle (Mittelwertsatz der Differentialrechnung).
  • f'=0 auf einem Intervall => f ist konstant.
  • Monotonie einer differenzierbaren Funktion (sie kann mit Hilfe der Ableitungsfunktion geprüft werden).
  • Konvexität einer differenzierbaren Funktion (sie kann mit Hilfe der zweiten Ableitungsfunktion geprüft werden).
  • Ableitungsregeln: Produkt- und Quotientenregel, Ableitung von Polynomen.
  • Ableitungsregeln: Kettenregel, Ableitung der Umkehrfunktion.
  • Ableitung elementarer Funktionen.

WOCHE 09 (1.12.2014)
  • Eigenschaften stetiger Funktionen. Nullstellensatz. Zwischenwertsatz. Satz von Maximum und Minimum.
  • Differenzierbarkeit: Motivierung, Differenzenquotient als Steigung der Sekante, Steigung der Tangente.
  • Differenzierbarkeit: Definition, Ableitungsfunktion. Beispiele: konstante, lineare, quadratische, exponential, Quadratwurzel Funktion, etc. Tangentengleichung.
  • Differenzierbar => stetig. Nicht umkehrbar.

WOCHE 08 (24.11.2014)
  • Grenzwert von Funktionen. Rechtsseitiger / linksseitiger Grenzwert. Beispiele.
  • Stetigkeit von Funktionen. Lim-Definition. Epsilon-Delta-Definition.
  • Rechenregeln für stetige Funktionen. Stetigkeit von Potenzreihen. Stetigkeit der Umkehrfunktion.
  • Alle elementaren Funktionen sind stetig. Es gibt andereseits auch Funktionen, die in keinem Punkt des Definitionsbereichs stetig sind.

WOCHE 07 (17.11.2014)
  • Elementare Funktionen: Logarithmusfunktion und allgemeine Exponentialfunktion.
  • Elementare Funktionen: Trigonometrische Funktionen sin und cos. Geometrische und analytische Definition. Additionstheoreme. Eigenschaften und Graph von sin und cos.
  • Elementare Funktionen: Trigonometrische Funktionen tan and cotan.
  • Anwendungen von sin und cos. Wurfparabel, Wurfweite.
  • Elementare Funktionen: Arcusfunktionen.

WOCHE 06 (10.11.2014)
  • Funktionen: der Funktionsbegriff, Definitionsbereich, Zielbereich.
  • Grafische Darstellung. Monotonie.
  • Summe, Produkt, Komposition von Funktionen.
  • Umkehrfunktionen.
  • Elementare Funktionen: Polynomfunktionen und rationale Funktionen.
  • Elementare Funktionen: Exponentialfunktion.

WOCHE 05 (3.11.2014)
  • Harmonische und Geometrische Reihe (Konvergenz, Divergenz, Anwendungen).
  • Konvergenzkriterien für Reihen. Leibniz-Kriterium. Majorantenkriterium. Wurzelkriterium. Zahl e.
  • Potenz mit einem reelwertigen Exponenten. Regeln für das Rechnen mit Potenzen.
  • Logarithmus. Rechnenregeln.

WOCHE 04 (27.10.2014)
  • Einschließung (Konvergenzkriterium für Folgen):  Anwendungen.
  • Der Hauptsatz für monotone + konvergente Folgen. Beispielen. Die Eulersche Zahl.
  • Reihen: Definition und Beispiele. Partialsumme. Konvergenz. Absolut Konvergenz.
  • Die Partialsumme einer konvergenten Reihe ist eine Nullfolge.

WOCHE 03 (20.10.2014)
  • Zahlenfolgen: Definition und Beispiele. Folgen können auch rekursiv definiert sein (Beispiel: die Folge von Fibonacci).
  • Konvergenz für Folgen. Rechenregeln. Jede konvergente Folge ist beschränkt.
  • Divergenz. Bestimmte Divergenz gegen ∞.
  • Konvergenzkriterien für Folgen: Einschließung.
  • Geometrische Folge.

WOCHE
02 (13.10.2014)
  • Potenzen mit ganzzahligen Exponenten. Rechenregeln für Potenzen. n-te Wurzel. Rechenregeln für Wurzeln.
  • Fakultät. n! wächst sogar noch schneller als 10^n. Binomialkoeffizient. Rekursionsformeln. Pascalsches Dreieck. Der Binomialkoeffizient ist stets eine natürliche Zahl.
  • Der binomische Lehrsatz. Folgerungen.
  • Vollständige Induktion als ein Beweisprinzip.

WOCHE
01 (6.10.2014)
  • Natürliche, ganze, und rationale Zahlen.
  • Dezimalbrüche und reelle Zahlen. Eigenschaften der Operationen "+" and "."
  • Anordnung, "<", ">", etc. Typen von Intervallen (abgeschlossenes, offenes, halboffenes, ein- und zweiseitig unendliches Intervalle).
  • Betrag |x|. Rechnen mit Beträgen und Dreiecksungleichung.
  • Max, Min, und Schranken. Sup und Inf.