Kurstagebuch
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WOCHE 14 (19.01.2015) |
- Anwendungen des Hauptsatzes der Integralrechnung:
Volumenberechnung von Rotationskörpern. Volumen des Kegelstumpfes.
Volumen der Kugel.
- Anwendungen des Hauptsatzes der Integralrechnung:
Geschwindigkeit und Weg als Funktionen der Zeit; Galileischen Gesetze.
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WOCHE 13 (12.01.2015) |
- Eigenschaftern des Bestimmtes Integrals. Linearität des
Integrals. Monotonie del Integrals. Mit f ist auch |f| integrierbar. Betrag von
Integral kleiner als Integral von Betrag. Zerlegun des
Integrationsintervalls.
- Integralfunktion zu f.
Die Integralfunktion ist stetig (im Allgemeinen jedoch nicht
differenzierbar).
- Stammfunktion zu f.
Eine Stammfunktion, falls existent, ist nicht eindeutig bestimmt. Zwei
Stammfunktionen unterscheiden sich nur durch eine additive Konstante.
- Unbestimmtes Integral.
- Mittelwertsatz der Integralrechnung (mit Beweis).
- Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (mit
Beweis). Der Hauptsatz gibt uns die Möglichkeit, bei stetigen
Funktionen das bestimmte Integral mit Hilfe einer Stammfunktion
auszurechnen.
- Beispiele und Formelsammlung (Tafel der Grundintegrale).
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WOCHE 12 (22.12.2014) |
- Integralrechnung. Motivierung. Die Aufgabenstellung: der
Fläche unter einer Kurve eine Maßzal als Flächeninhalt zuzuordnen.
- Zerlegung von [a,b]. Feinheit der Zerlegung.
Zwischenstellen und Riemann-Summe von f
(wir betrachen zunächst nur beschränkte reelwertige Funktionen, welche
ein beschränktes, abgeschlossenes Intervall als Definitionsbereich
besitzen).
- Das bestimmte Integral als Grenzwert der Zerlegungsfolge
(fur jede Wahl der Zwischenstellen!!).
- In
gehen Flächen, die unterhalb der x-Achse
liegen, mit negativem Voreichen ein.
- Integrierbarkeit. Die konstante Funktion f(x)=c ist integrierbar mit
= c(b-a).
Die Identitätsfunktion f(x)=x
ist auch integrierbar mit
=½(b²-a²). Die quadratische Funtkion f(x)=x² ist integrierbar mit
=(b³-a³)/3.
(MIT BEWEIS!!)
- Jede monotone Funktion f:[a,b]→R ist integrierbar.
- Jede stetige Funktion f:[a,b]→R ist integrierbar.
- Jede beschränkte Funktion f:[a,b]→R, die nur in endlich vielen
Stellen nicht stetig ist, ist integrierbar.
- Ändert man eine integrierbare Funktion f an endlich vielen Stellen ab,
so bleibt die Integrierbarkeit und auch der Wert des Integrals erhalten.
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WOCHE 11 (15.12.2014) |
- Lokale Extrema. Notwendiges Kriterium für ein Extremum
(f'(x)=0). Hinreichende Kriterien für ein Extremum (Wechsel des
Vorzeicnes von f').
- Wendepunkte (=> f''(x)=0).
- Kurvendiskussion: (1) Definitionsbereich D, (2)
Nullstellen, (3)
Lokale Minima/Maxima, (4) Krümmungssin der Kurve (konvex/konkav) und
Wendepunkte, (5) Grenzwerte bei x→∞,
bzw. x→Rand von D, (6)
Kurvenverlauf in einem Schaubild.
- Kurvendiskussion: Beispiele.
- Regel von de l'Hospital, Fall 0/0.
- Regel von de l'Hospital, Fall ∞/∞.
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WOCHE 10 (8.12.2014) |
- Satz von Rolle (Mittelwertsatz der Differentialrechnung).
- f'=0 auf einem Intervall => f ist konstant.
- Monotonie einer differenzierbaren Funktion (sie kann mit
Hilfe der Ableitungsfunktion geprüft werden).
- Konvexität einer differenzierbaren Funktion (sie kann mit
Hilfe der zweiten Ableitungsfunktion geprüft werden).
- Ableitungsregeln: Produkt- und Quotientenregel, Ableitung
von Polynomen.
- Ableitungsregeln: Kettenregel, Ableitung der Umkehrfunktion.
- Ableitung elementarer Funktionen.
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WOCHE
09 (1.12.2014) |
- Eigenschaften stetiger Funktionen. Nullstellensatz.
Zwischenwertsatz. Satz von Maximum und Minimum.
- Differenzierbarkeit: Motivierung, Differenzenquotient als
Steigung der Sekante, Steigung der Tangente.
- Differenzierbarkeit: Definition, Ableitungsfunktion.
Beispiele: konstante, lineare, quadratische, exponential, Quadratwurzel
Funktion, etc. Tangentengleichung.
- Differenzierbar => stetig. Nicht umkehrbar.
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WOCHE
08 (24.11.2014) |
- Grenzwert von Funktionen. Rechtsseitiger / linksseitiger
Grenzwert. Beispiele.
- Stetigkeit von Funktionen. Lim-Definition.
Epsilon-Delta-Definition.
- Rechenregeln für stetige Funktionen. Stetigkeit von
Potenzreihen. Stetigkeit der Umkehrfunktion.
- Alle
elementaren Funktionen sind stetig. Es gibt andereseits auch
Funktionen, die in keinem Punkt des Definitionsbereichs stetig sind.
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WOCHE
07 (17.11.2014) |
- Elementare Funktionen: Logarithmusfunktion und allgemeine
Exponentialfunktion.
- Elementare Funktionen: Trigonometrische Funktionen sin und
cos. Geometrische und analytische Definition. Additionstheoreme.
Eigenschaften und Graph von sin und cos.
- Elementare Funktionen: Trigonometrische Funktionen tan and
cotan.
- Anwendungen von sin und cos. Wurfparabel, Wurfweite.
- Elementare Funktionen: Arcusfunktionen.
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WOCHE
06 (10.11.2014) |
- Funktionen: der Funktionsbegriff, Definitionsbereich,
Zielbereich.
- Grafische Darstellung. Monotonie.
- Summe, Produkt, Komposition von Funktionen.
- Umkehrfunktionen.
- Elementare Funktionen: Polynomfunktionen und rationale
Funktionen.
- Elementare Funktionen: Exponentialfunktion.
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WOCHE
05 (3.11.2014) |
- Harmonische und Geometrische Reihe (Konvergenz, Divergenz,
Anwendungen).
- Konvergenzkriterien für Reihen. Leibniz-Kriterium.
Majorantenkriterium. Wurzelkriterium. Zahl e.
- Potenz mit einem reelwertigen Exponenten. Regeln für das
Rechnen mit Potenzen.
- Logarithmus. Rechnenregeln.
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WOCHE
04 (27.10.2014) |
- Einschließung (Konvergenzkriterium für Folgen):
Anwendungen.
- Der Hauptsatz für monotone + konvergente Folgen.
Beispielen. Die Eulersche Zahl.
- Reihen: Definition und Beispiele. Partialsumme. Konvergenz.
Absolut Konvergenz.
- Die Partialsumme einer konvergenten Reihe ist eine
Nullfolge.
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WOCHE
03 (20.10.2014) |
- Zahlenfolgen: Definition und Beispiele. Folgen können auch
rekursiv definiert sein (Beispiel: die Folge von Fibonacci).
- Konvergenz für Folgen. Rechenregeln. Jede konvergente Folge
ist beschränkt.
- Divergenz. Bestimmte Divergenz gegen ∞.
- Konvergenzkriterien für Folgen: Einschließung.
- Geometrische Folge.
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WOCHE 02 (13.10.2014) |
- Potenzen mit ganzzahligen Exponenten. Rechenregeln für
Potenzen. n-te Wurzel. Rechenregeln für Wurzeln.
- Fakultät. n! wächst sogar noch schneller als 10^n.
Binomialkoeffizient. Rekursionsformeln. Pascalsches Dreieck. Der
Binomialkoeffizient ist stets eine natürliche Zahl.
- Der binomische Lehrsatz. Folgerungen.
- Vollständige Induktion als ein Beweisprinzip.
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WOCHE 01
(6.10.2014) |
- Natürliche, ganze, und rationale Zahlen.
- Dezimalbrüche und reelle Zahlen. Eigenschaften der
Operationen "+" and "."
- Anordnung, "<", ">", etc. Typen von Intervallen
(abgeschlossenes, offenes, halboffenes, ein- und zweiseitig unendliches
Intervalle).
- Betrag |x|. Rechnen mit Beträgen und Dreiecksungleichung.
- Max, Min, und Schranken. Sup und Inf.
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