Mathematisches Institut
Joachim Wehler
LMU München
Wintersemester 2018/19
Seminar (Hauptseminar): Lie-Algebren
Wintersemester 2018/19
1. Beschreibung
Gegenstand des Seminars sind
- Strukturtheorie und
- Darstellungstheorie
Die Strukturtheorie liefert eine vollständige Klassifikation dieser Lie-Algebren. Jede dieser Lie-Algebren ist durch endlich viele diskrete Parameter in Form eines gerichteten, gewichteten Graphen charakterisiert (Dynkin-Diagramm). Jede Darstellung einer komplexen halbeinfachen LieAlgebra zerfällt in eine direkte Summe irreduzibler Darstellungen. Jede irreduzible Darstellung ist durch ihr höchstes Gewicht bestimmt.
Einige Schlüsselbegriffe des Seminars: Cartan-Zerlegung, Wurzelsystem, Weyl-Gruppe, Cartan-Matrix, Dynkin-Diagramm, Fundamentale Gewichte.
Halbeinfache Lie Algebren treten in der Physik als infinitesimale Erzeuger wichtiger Symmetriegruppen wie SO(n), SU(n), Spin(n), Sp(n) auf. Die komplexen Darstellungen dieser Lie-Gruppen ergeben sich aus der Darstellungstheorie komplexer halbeinfacher Lie-Algebren.
Termin: Mittwoch, 10-12 Uhr.
2. Themenliste
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Nr. |
Vortragssthema |
Termin (Mittwoch) |
Literatur |
ReferentIn |
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1 |
sl(2,C)-modules |
17.10.2018 |
[Hum1972] §7 [Ser2001] Ch. IV.1-IV.5 [Weh2018] Ch. 5.2 |
Fr. Nkeng |
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2 |
Cartan decomposition of semisimple Lie Algebras |
24.10.2018 |
[Hum1972] §8.1-8.3 [Weh2018] Ch. 5.1, 5.3 |
Fr. Steibel |
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3 |
Abstract root system and base |
31.10.2018 |
[Ser2001] Ch. V.1-V.8 [Hum1972] §9 [Weh2018] Ch. 6.1 |
Hr. Semrau |
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4 |
Action of the Weyl group, Cartan matrix |
7.11.2018 |
[Ser2001] Ch. V.10-V.11 [Weh2018] Ch. 6.2 |
Fr. Steibel |
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5 |
Coxeter graph and Dynkin diagram |
14.11.2018 |
[Ser2001] Ch. V.12-V.15 [Weh2018] Ch. 6.3 |
Hr. Kress |
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6 |
Root system of a complex semisimple Lie algebra |
21.11.2018 |
[Hum1972] [Weh2018] Ch. 7.1 |
Hr. Gundlach |
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7 |
Dynkin diagram of A,B,C,D-series |
28.11.2018 |
[Hal2015] [Weh2018] Ch. 7.2 |
Hr. Gundlach |
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8 |
Calculating A,B,C,D-series by using a computer package (without proofs) |
- |
z.B. GAP-package [Hal2015] [Weh2018] Ch. 7.2 |
entfaellt |
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9 |
The universal enveloping algebra (without proof of PBW-theorem) |
5.12.2018 |
[Hum1972] § 17.1-3 [Weh2018] Ch. 8.1 |
Hr. Gao |
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10 |
General weight theory |
12.12.2018 |
[Ser2001] Ch. VII. 1-3 [Weh2018] Ch. 8.2 [Hum1972] § 20.1-3 |
Hr. Bruecklmeier |
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11 |
Finite dimensional irreducible representations |
19.12.2018 |
[Ser2001] Chap VII. 4 [Weh2018] Ch. 8.3 |
Hr. Gao |
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12 |
Summary: Complex Semisimple Lie Algebras |
16.1.2019 |
Hr. Wehler |
Die Dauer eines Vortrags beträgt 75 Minuten; die Zeit darf nicht überschritten werden. The talk can be given in English or in German.
Bitte machen Sie mit mir einen Termin für eine Sprechstunde aus, die spätestens 14 Tage vor Ihrem Vortrag stattfindet. An diesem Termin sollten Sie mir mündlich Ihren Plan mit Zeitaufteilung vorstellen und einen Abschnitt probeweise vortragen. Bitte schicken Sie mir keine schriftlichen Ausarbeitungen.
Bei Fragen können Sie mir gern eine email schicken und eine weitere Sprechstunde in der vorlesungsfreien Zeit vereinbaren.
Wenn Sie sich für eines der freien Themen interessieren oder wenn Sie weitere Themenwünsche oder -vorschläge haben, bitte geben Sie mir Bescheid. Bitte nennen Sie mir dabei Ihr Studienfach mit Semesterzahl, den Umfang Ihrer Vorkenntnisse über Lie-Algebren und Ihren Themenwunsch.
3. Literatur
[Hum1972] Humphreys, James E.: Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Springer, New York (1972)[Ser2001] Serre, Jean-Pierre: Complex Semisimple Lie Algebras. Reprint 1987 edition, Springer, Berlin (2001)
[Ser2006] Serre, Jean-Pierre: Lie Algebras and Lie Groups. 1964 Lectures given at Harvard University. 2nd edition, Springer, Berlin (2006)
[HN1991] Hilgert, Joachim, Neeb, Karl-Hermann: Lie Gruppen und Lie Algebren. Braunschweig (1991)
[HN2012] Hilgert, Joachim, Neeb, Karl-Hermann: Structure and Geometry of Lie Groups. New York (2012)
[Hal2015] Hall, Brian: Lie Groups, Lie Algebras, and Representations. An Elementary Introduction. Springer, Heidelberg 2nd edition (2015)
[Weh2018] Wehler, Joachim: Lie Algebras. Lecture Notes (Continuously updated)