Mathematisches Institut
Joachim Wehler
LMU München
Wintersemester 2016/17

Vorlesung (4+2): Lie-Algebren in Mathematik und Physik

Wintersemester 2016/17

Beschreibung

Literatur

1. Beschreibung

Lie-Algebren treten in der Physik als Linearisierung von kontinuierlichen Gruppen auf.

Die bekanntesten dieser Lie-Gruppen sind die Drehgruppe SO(3,R) und ihre universelle Überlagerung, die spezielle unitäre Gruppe SU(2). Beide kontinuierlichen Gruppen werden durch dieselbe reelle 3-dimensionale Lie-Algebra o(3,R) = su(2) linearisiert. Ausserdem ist die Lie-Algebra o(3,R) in natürlicher Weise isomorph zur Lie-Algebra des Kreuzprodukts im 3-dimen­si­o­na­len rellen Raum.

Vom mathematischen Standpunkt aus betrachtet, sind Lie-Algebren endlich-dimensionale Vektorräume mit einem zusätzlichen Produkt, der Lie-Klammer. Das typische Beispiel sind Ma­trizenalgebren mit dem Kommutator [A,B] = A×B - B×A als Lie Klammer.

Lie Algebren treten häufig dort auf, wo es auf die Reihenfolge der Faktoren ankommt, weil das Produkt nicht kommutativ ist.

Viele Sätze der Matrizenrechung finden ihre Verallgemeinerung in der Theorie der Lie Algebren. Die wichtigsten Beispiele sind die Sätze über die Diagonalisierung und Trigonalisierung von Matrizen mit Hilfe der Eigenwerttheorie, insbesondere der Satz über die Jordan-Form.

Ausserdem werden wir die Exponentialabbildung von Matrizen studieren, welche jeder Matrix eine invertierbare Matrix zuordnet. An dieser Stelle kommt die Analysis in’s Spiel, da Exponential und Logarithmus von Matrizen konvergente Potenzreihen von Matrizen sind.

Nach dem Studium von auflösbaren und nilpotenten Lie Algebren bildet die Strukturtheorie der halbeinfachen Lie-Algebren einen wichtigen Teil der Vorlesung. Diese Theorie ist mathematisch sehr befriedigend: Sie fand ihre Krönung in der vollständigen Übersicht aller komplexen halbeinfachen Lie-Algebren. Hierzu gehört neben den Lie-Algebren der klassischen Gruppen eine endliche Anzahl von Ausnahmealgebren.

Ebenso befriedigend ist das Studium der Darstellungstheorie komplexer halbeinfacher Lie-Algebren. Sie lassen sich vollständig ausreduzieren in irreduzible Darstellungen. Diese werden wieder durch einfache Kennzahlen klassifiziert. Bekanntlich spielen die Darstellungen der o(3,R) und der Lie Algebren der unitären Gruppen eine bedeutende Rolle in der Quantenmechnik, speziell in der Teilchenphysik.

Einige Schlagwörter der Vorlesung: Sätze von Engel und Lie, adjungierte Darstellung, Wurzelsystem, Dynkin Diagramm, Lemma von Schur, Vollreduzibilität von Darstellungen halbeinfacher Lie-Algebren, Tensorprodukt von Darstellungen.

 

Parallel zur Vorlesung findet eine wöchentliche Übung auf der Basis von Übungsaufgaben statt, die von den Teilnehmern vorher zu rechnen sind. Der erfolgreiche Besuch der Vorlesung wird entweder durch eine mündliche Prüfung oder durch das Bestehen einer Klausur nachgewiesen – Bekanntgabe des Modus erfolgt zu Vorlesungsbeginn.

 

Voraussetzungen zum Verständnis der Vorlesung: Lineare Algebra: Matrizen, Eigenvektoren und Eigenwerte, charakteristisches Polynom, Jordan-Normalform. Analysis inkl. Potenzreihen. Grundkenntnisse über Tensorprodukte sind von Vorteil.

·       Die Vorlesung richtet sich primär an Studenten im Masterstudium.

·       Sie ist auch für interessierte Bachelorstudenten geeignet, die nach ihrem Abschluß ein Masterstudium anschliessen wollen.

·       Die Vorlesung kann auch in den TMP-Abschluss eingebracht werden.

 

The lecture can be held in English if required.

Die Vorlesung wird ggf. im nachfolgenden Semester mit einer Vorlesung über Lie-Gruppen fortgesetzt.

 

2. Literatur

[Hum1972] Humphreys, James E.: Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Springer, New York (1972)

[Ser2001] Serre, Jean-Pierre: Complex Semisimple Lie Algebras. Reprint 1987 edition, Springer, Berlin (2001)

[Ser2006] Serre, Jean-Pierre: Lie Algebras and Lie Groups. 1964 Lectures given at Harvard University. 2nd edition, Springer, Berlin (2006)

[HN1991] Hilgert, Joachim, Neeb, Karl-Hermann: Lie Gruppen und Lie Algebren. Braunschweig (1991)

[HN2012] Hilgert, Joachim, Neeb, Karl-Hermann: Structure and Geometry of Lie Groups. New York (2012)

[Hal2015] Hall, Brian: Lie Groups, Lie Algebras, and Representations. An Elementary Introduction. Springer, Heidelberg 2nd edition (2015)