Mathematisches Institut
Joachim Wehler
LMU München
Sommersemester 2018

Vorlesung (4+2): Lie-Algebren

Sommersemester 2018

Beschreibung

Literatur

Modulprüfung

 

1. Beschreibung

Lie-Algebren sind Vektorräume mit einer zusätzlichen nicht-Abelschen Verknüpfung, der Lie-Klammer. Jede Algebra von Matrizen wird zu einer Lie-Algebra, wenn man den Kommutator zweier Matrizen als Lie-Klammer definiert. Lie Algebren treten häufig dort auf, wo es auf die Reihenfolge der Faktoren ankommt, weil das Produkt nicht kommutativ ist.

Eine wesentlichen Bedeutung von Lie-Algebren besteht darin, daß Lie-Algebren die Linearisierung von Lie-Gruppen sind. Hierbei bestimmt die Lie-Klammer nach der Formel von Baker-Campbell-Hausdorff die Gruppenmultiplikation. In vielen Fällen kann das Studium einfach zusammenhängender Lie-Gruppen auf das Studium ihrer Lie-Algebren zurückgeführt werden.

Lie-Gruppen wie SO(2,R), SO(3,R), SU(2) oder die Lorentz-Gruppe SO(1,3) treten in vielen Gebieten der Physik auf. Als Symmetriegruppe stehen sie hinter den beobachteten Erscheinungen; letztere sind ihre Darstellungen.

Viele Sätze der Matrizenrechung finden ihre Verallgemeinerung in der Theorie der Lie- Algebren. Die wichtigsten Beispiele sind die Sätze über die Diagonalisierung und Trigonalisierung von Matrizen mit Hilfe der Eigenwerttheorie, insbesondere der Satz über die Jordan-Form.

Ausserdem werden wir die Exponentialabbildung von Matrizen studieren, welche jeder Matrix eine invertierbare Matrix zuordnet. An dieser Stelle kommt die Analysis in’s Spiel, da Exponential und Logarithmus von Matrizen konvergente Potenzreihen von Matrizen sind.

Nach dem Studium von auflösbaren und nilpotenten Lie-Algebren werden wir am Beispiel der Lie-Algebren sl(n,C) die Struktur halbeinfacher komplexer Lie-Algebren veranschaulichen. Dieser Teil war Gegenstand einer Vorlesung im WS 2016/17. Jetzt dient die Strukturtheorie als Einstieg in die Darstellungstheorie halbeinfacher komplexer Lie-Algebren. Diese lassen sich vollständig ausreduzieren in irreduzible Darstellungen, und letztere werden durch einfache Kennzahlen klassifiziert.

Anwendungen ergeben sich für die endlich-dimensionalen Darstellungen kompakter reeller Lie-Gruppen wie SO(3,R) und die unitären Gruppen. Diese Gruppen spielen eine bedeutende Rolle in der Quantenmechnik, speziell in der Teilchenphysik.

Einige Schlagwörter der Vorlesung: Sätze von Engel und Lie, adjungierte Darstellung, Wurzelsystem, Cartan Algebra, Wurzelsystem, Lemma von Schur, Vollreduzibilität von Darstellungen halbeinfacher Lie-Algebren, Tensorprodukt von Darstellungen, Fundamentale Gewichte.

 

Parallel zur Vorlesung findet eine wöchentliche Übung auf der Basis von Übungsaufgaben statt, die von den Teilnehmern vorher zu rechnen sind. Der erfolgreiche Besuch der Vorlesung wird entweder durch eine mündliche Prüfung oder durch das Bestehen einer Klausur nachgewiesen – der Modus wird im Laufe der Vorlesung bekanntgegeben.

 

The lecture can be held in English if required.

 

Zielgruppe: Die Vorlesung richtet sich primär an Mathematikstudenten im Masterstudium.

Sie ist auch für interessierte Bachelorstudenten geeignet, die nach ihrem Abschluß ein Masterstudium anschliessen wollen.

Die Vorlesung kann auch in den TMP-Abschluss eingebracht werden.

 

Vorkenntnisse: Lineare Algebra. Analysis incl. Potenzreihen. Grundkenntnisse über Tensorprodukte sind von Vorteil.

 

2. Literatur

·       Hilgert, Joachim; Neeb, Karl-Herrmann: Lie-Gruppen und Lie-Algebren. Braunschweig 1991. Teil II des Buches ist eine Einführung in das Thema der Vorlesung, beginnend auf einem elementaren Level.

·       Humphreys, James: Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Springer, Berlin 1972

·       Hall, Brian C.: Lie Groups, Lie Algebras, and Representations. An Elementary Introduction. Springer, Berlin 2015

Weitere Literatur zu einem späteren Zeitpunkt in der Vorlesung.

 

3. Modulprüfung

 

Die Modulprüfung zum Erreichen der ECTS-Punkte findet in der Zeit

Dienstag, 24.7.2018 - Donnerstag, 26.7.2018

in Raum B 438 (Mathematisches Institut) statt.

Die Püfung wird als mündliche Einzelprüfung durchgeführt, Dauer: 30-60 Minuten. Es sind keine Hilfsmittel zugelassen. Bitte bringen Sie Ihren Studentenausweis mit.

Prüfungsstoff ist der Inhalt der Vorlesung „Lie-Algebren“ und der zugehörigen Übungen.

Ich werde jedem Teilnehmer das Ergebnis seiner Prüfung per email mitteilen, sobald alle Kandidaten ihre Prüfung beendet haben.