Karl Rottmann: Mathematische Formelsammlung, BI-Hochschultaschenbücher, Bd. 13

Barth/Mühlbauer/Nikol/Wöhrle: Mathematische Formeln und Definitionen, Bayerischer Schulbuchverlag

Auszugsweise können Sie von folgenden Büchern profitieren:

Bigalke-Hasemann: Zur Didaktik der Mathematik (in den Klassen 5 und 6) Bd. 1 und 2 ; Diesterweg Verlag (vergriffen)

Griesel: Die neue Mathematik für Lehrer und Studenten Bd. 1 und 2; Schroedel Verlag (vergriffen)

Leutenbauer, H.: Das praktische Handbuch für den Mathematikunterricht in der Hauptschule; nur Band 2 aber mit Vorsicht, Auer Verlag

Padberg, F.: Didaktik der Bruchrechnung, B.I. Wissenschaftsverlag

Akademie-Berichte Dillingen

Nr. 184 Grundlagen/ Freies Arbeiten/ Nat.Zahlen/ Grundrechenarten
Nr. 186 Geometrie/ Sachrechnen
Nr. 187 Gleichungen/ Leistungssteigerung/ Computereinsatz

Schupp, H.: Geometrie in der Sekundarstufe I, Beltz Verlag (vergriffen)

Malle, G.: Didaktische Probleme der elementaren Algebra; Vieweg Verlag

Vollrath (Hrsg) Zahlbereiche, Klett Verlag

Strehl Zahlbereiche, Herder Verlag (vergriffen)

Vollrath, H.J.: Algebra in der Sekundarstufe I, B.I: Verlag

Zech, F.: Mathematik erklären und verstehen, Cornelsen Verlag

Zech, F.: Stützpfeiler Mathematik; Themenhefte zu Brüchen, Dezimalbrüchen, Geometrie, Prozentrechnen, Cornelsen Verlag

Mathematik I, Schülerduden , B.I. Verlag

Wissensspeicher Mathematik, Cornelsen Verlag

1. Beschreiben können, was man unter Aussage und Aussageform versteht.
   
2. Beispiele für Aussage und Aussageform aus der Schulmathematik verschiedener Jahrgangsstufen nennen können.
   
3. Die Einteilung (Klassifizierung) der Aussageformen nach der Anzahl der Variablen oder nach der Form (Gleichung, Ungleichung, andere Aussageform) oder nach der Erfüllbarkeit wissen sowie Beispiele dazu.
   
4. Die statische Auffassung von den Gleichungen in der Aussagenlogik und die dynamische Auffassung der Gleichungen in der Lehre von den Operatoren kennen.
   
5. Den Weg von der geg. Grundmenge zur Lösungsmenge für einstellige Aussageformen schildern können (mind. zwei verschiedene Lösungsverfahren für Gleichungen und Ungleichungen wissen).
   
6. Mehrere verschiedene Lösungsverfahren für Gleichungen und Ungleichungen wissen.
   
7. Lösung einer selbstgewählten Gleichung nach dem Operatormodell vorführen können.
   
8. Äquivalenzumformungen von Gleichungen wissen (einschließlich der math. Definition) und hierfür auch die methodisch-didaktischen Hinweise kennen (also wie man sie im Unterricht einführt).
   
9. Den Zusammenhang zwischen Verknüpfung von Aussageformen und dem Verknüpfen ihrer Lösungsmengen an Beispielen schildern können.
   
   
10. [Aussageverknüpfungen und ihre Wahrheitstafeln wissen].
    
11. [Rolle der Quantoren wissen (Quantoren machen u.U. Aussageformen, vor denen sie stehen, zu Aussagen) und an Beispielen erläutern können.]
    
12. [Verneinung einer Allaussage als Existenzaussage angeben können und Verneinung einer Existenzaussage als Allaussage (am Beispiel).]
    
    
13. Den Variablenbegriff erläutern können. Ab wann und in welchem Zusammenhang kommt er vor? Wie wird der Schüler stufenweise mit dem Variablenbegriff vertraut gemacht?
    
14. Die mathematische Definition der Termumformung beherrschen (was versteht man unter einer Termumformung?).
    
15. Wissen, wie die Termumformung in der 7. Klasse Hauptschule durchgenommen werden kann (Einstieg, Veranschaulichung, Hilfen).
    
16. Einen Überblick über die in Klasse 7, 8, 9 der Hauptschule wichtigen Termumformungen geben können.
17. Definieren können, was eine lineare Gleichung ist.
    
18. Zu einem Beispiel einer lin. Gleichung eine zugehörige Sachaufgabe wissen: 9·x = 36 (cm²).
    
19. Die Funktionsgleichung für die direkte Proportionalität wissen (als spezielle lineare Gleichung y = a·x), ebenso für indirekte Proportionalität.
    
20. Wo begegnet der Hauptschüler einer quadratischen Gleichung?
    
21. Wissen, wo dem Hauptschüler y = a/x begegnet.
    
22. Den Weg von der Sachaufgabe bis zur Gleichung vorführen können einschließlich methodischer Hilfen.
    
23. Den Weg von der Textaufgabe (auch Wortgleichung genannt) bis zur Gleichung beschreiben können.
    
24. Ein System von 2 Gleichungen mit 2 Variablen auf zweierlei Arten lösen können (HS M-Zug 9/10).
    
25. Definition der Begriffe Gleichung, Ungleichung, Term wissen.
    
    
    
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1. Die Begriffe "Stellenwertsystem" und "Stellenwertschreibweise" erklären können.
   
2. Die Behandlung des Dezimalsystems im Mathematikunterricht der 5. Klasse beschreiben können (hierzu die Schlagworte Bündeln, Stellenwerttabelle richtig erläutern, sowie Bündelmaterial nennen können).
   Die Fachbegriffe Schätzen, Runden, Überschlag charakterisieren.
   
3. Die Potenzschreibweise sicher beherrschen und ihren Platz im Mathematikunterricht der Hauptschule kennen.
   
4. Erläutern können, was man sich von der Durchnahme anderer Stellenwertsysteme neben dem Zehnersystem verspricht (eins der Argumente: um das Prinzip der Stellenwertschreibweise besser einzusehen: Prinzip des Bündelns, Prinzip des Schreibens als Ziffernfolge).
   
5. Neben der Stellenwertschreibweise auch die Stufenschrift und die Reihenschrift der nat. Zahlen kennen und wissen, wie diese im MU vorkommen.
   
6. Methodische Kenntnisse zu den drei Einsatzmöglichkeiten der Stellenwerttabelle in der HS haben:
   a) große Zahlen
   b) Dezimalbrüche
   c) Umrechnung von Größen
7. Methodik der unterrichtlichen Behandlung der schriftlichen Normalverfahren von Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division kennen.
   
8. Die bei den schriftlichen Rechenverfahren häufigsten Schülerfehler kennen und wissen, was dagegen hilft.
   
9. Die in 7) genannten schriftlichen Rechenarten schrittweise auf die Anwendung der Rechengesetze hin analysieren können (Assoziativgesetz, Distributivgesetz).
   
10. Sowohl stellenwertsystemunabhängige Teilbarkeitsaussagen, als auch stellenwertsystemabhängige Teilbarkeitskriterien wissen (siehe Lernziele zur Teilbarkeitslehre).
    
11. Methodik der unterrichtlichen Behandlung des Umgangs mit großen Zahlen (über eine Million) wissen.
    
    
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1. Definieren können, wann eine natürliche Zahl a teilbar durch b heißt.
   
2. Veranschaulichungen bzw. Sachaufgaben für Teilbarkeit und Teiler wissen.
   
3. Didaktische Bedeutung der Begriffe Teiler, ist teilbar durch, Teilermenge, Vielfachenmenge wissen (auch den Lehrplan kennen)
   
4. Darstellungen für Teilermengen z.B. Tm kennen. Wissen, welche Sachaufgaben als Hinführung zum Aufstellen der Teilermengen dienen können.
   
5. Zeigen können, dass die Teilerrelation eine Ordnungsrelation ist.
   
6. [Das Hassediagramm für die Relation aTb kennen.]
   
7. Teilbarkeitskriterien (= Teilbarkeitsregeln) wissen (einschließlich ihrer Klassifizierung in Quersummenregeln, Endstellenregeln und Mischregeln) und wie man diese im Unterricht einführt bzw. ihre Gültigkeit begründet.
   
8. Teilbarkeitsaussagen, die unabhängig vom verwendeten Stellenwertsystem sind, wissen.
   
9. Zusammenhang zwischen der Teilbarkeit und den Rechenoperationen wissen ("Summenregel", "Produktregel") und beweisen können.
   
10. Definition der Begriffe Primzahl, kgV und ggT wissen, sowie deren didaktische Funktion.
    
11. Wissen, was man unter Primfaktorenzerlegung versteht und wie man sie im Unterricht bringt und wo man sie braucht.
    
12. Mehrere Verfahren zur Ermittlung des kgV (=HN, Hauptnenner) an Beispielen vorführen können; auch das Verfahren über die Primfaktorenzerlegung.[für den ggT auch den euklid. Algorithmus]
    
13. Bedeutung des kgV und ggT im Mathematikunterricht kennen.
    
14. Einschlägige Beispiele von Sachaufgaben zu kgV und ggT wissen.
    
15. Den Beweis der Aussage "∀ a, b ∈ N gilt: a·b = kgV(a,b)·ggT(a,b)" skizzieren können.
    
    
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Die Größenbereiche haben für den Mathematikunterricht in mehrfacher Hinsicht Bedeutung:

• Bedeutung für den Geometrieunterricht: Längen-, Flächen-, Volumenmessung und -berechnung sind wichtige Anforderungen des Geometrieunterrichts der HS
  
• Bedeutung für das Bruchrechnen (siehe dort!)
  
• Bedeutung für das Schlussrechnen, d.h. die Behandlung der Proportionalitäten im MU der HS (siehe dort!)
  
• Bedeutung für das Sachrechnen allgemein
  
  

1. Beispiele für Größen nennen können (Länge, Fläche usw.)
   
2. Zu den Größen jeweils ihre Repräsentanten wissen.
   
3. Zwischen Maßzahl, Maßeinheit und Bezeichnung der Größe unterscheiden können.
   
4. Am Beispiel der Längen erklären können, wie man sie als Äquivalenzklassen kongruenter Strecken einführt.
   
5. Einführung des Flächeninhaltes z.B. als Äquivalenzklassen zerlegungsgleicher Vierecke erläutern können.
   
6. Direkten und indirekten Vergleich (mittelbaren und unmittelbaren Vergleich) bei Strecken und Flächenstücken beschreiben können.
   
7. Die Methodik des stufenweisen Einführens einer neuen Größenart im Unterricht wissen (siehe GS).
   
8. Die Struktureigenschaften eines Größenbereichs wissen und an den Beispielen L (Menge aller Längen), A (Mengen aller Flächen) und N (Menge der natürlichen Zahlen) nachweisen können.
   
9. Welche Gesetze gelten für die Addition und Subtraktion von Größen? Wo werden diese Kenntnisse im Unterricht benützt? (Beispielaufgaben)
   
10. Definieren können, was man unter dem n-fachen einer Größe versteht.
    
11. Den theoretischen Hintergrund des Messens wissen und am Beispiel der Längen erklären können.
    
12. Eine Lernsequenz "Vertiefung de Umganges mit Längen in Klasse 5" skizzieren können.
    
13. Eine Lernsequenz "Einführung in die Flächenmessung" skizzieren können (6. Klasse).
    
14. Flächenmessung durch Parkettierung kennen (freie Wahl der Maßeinheit bzw. konventionelle Maßeinheit)
    
15. Die Einführung der Volumenmessung erläutern können; sowohl fachlich als auch die Methodik (siehe hierzu auch die Lernziele Geometrie: Rauminhalt von Körpern).
    
16. Unterrichtliche Behandlung der Messgenauigkeit wissen (Ursachen; Rolle der Schreibweise z. b. 3,0m gegenüber 3,00m; Rundungsregeln; Rechnen mit gerundeten Größen; Auf- und Abrunden von Ergebnissen, Rolle des Rundungsfehlers beim Weiterrechnen mit gerundeten Größen).
    
17. Die Teilbarkeitseigenschaft als Besonderheit einiger Größenbereiche wissen und definieren können. Wissen, wo man diese im Unterricht braucht.
    
18. Wissen, was man unter inkommensurablen Strecken(längen) versteht. Das Vorkommen von inkommensurablen Strecken aufzeigen können.
    
19. Im konventionellen Bruchrechnen werden die Brüche als Bruchteile von Größen eingeführt. Welche Veranschaulichungen werden dabei gewählt? Welche Größen sind dabei angesprochen, welche Repräsentanten? Siehe auch DIFF-Mappe E17!
    
20. Bedeutung der Größen und ihrer Repräsentanten für einen Bruchrechenkurs nach der Operatormethode kennen. Siehe auch DIFF-Mappe E17!
    
21. In Sachaufgaben geht es sehr oft um Abbildungen eines Größenbereichs in einen anderen Größenbereich oder eines Größenbereichs in sich selbst. Können Sie dies an unterschiedlichen Beispielen erläutern? Siehe auch DIFF-Mappe E19!
    
22. Direkte Proportionalität als Abbildung eines Größenbereichs in einen anderen charakterisieren können und ebenso indirekte Proportionalität.
    
    
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Geometrische Operatoren

1. Die Menge der Deckbewegungen verschiedener Figuren aufstellen können (z.B. vom gleichseitigen Dreieck, vom Rechteck, vom Quadrat).
   
2. Wissen, für welche Lernziele die Kenntnisse über Deckbewegungen einzelner Figuren von Bedeutung sind.
   
3. [Deckbewegungen als Permutationen aufschreiben können.]
   
4. Den Begriff "Verketten von Operatoren" erklären können.
   
5. Das Verknüpfen (Verketten) von Deckbewegungen der o.g. Figuren beherrschen und Verknüpfungstafeln hierfür aufstellen können.
   
6. Für die Menge der Deckbewegungen einer Figur (z. B: des gleichseitigen Dreiecks) anhand der Verknüpfungstafel zeigen können, dass eine Gruppe vorliegt (die Bewegungsgruppe der Figur)
   
7. Zur Unterrichtspraxis wissen, welche anschaulichen Hilfen zur Behandlung der Deckbewegungen in der Schule gegeben werden können.
   
8. Den Zusammenhang zwischen den Symmetrien der Vierecke und dem sog. Haus der Vierecke erläutern können
   
9. Den Zusammenhang zwischen den Symmetrien der Dreiecke und dem "Haus der Dreiecke" wissen
   
10. [Je ein Beispiel für eine "Zustand-Operator-Zustand"-Aufgabe und eine "Operator-Operator-Operator"-Aufgabe schildern können.]
    
11. [An zwei strukturgleichen Operatorspielen den Begriff "strukturgleich"/isomorph erläutern können.]
    
12. [Die Frage aus der Kombinatorik beantworten können, wie viele Permutationen es zur Menge { 1,2,...,n} gibt (mit Begründung).]
    
    

Algebraische Operatoren

1. Algebraische, also +n, -n, ·n, /n –Operatoren und deren schulische Bedeutung kennen.
   
2. Die algebraischen Operatoren als Funktionen über N erklären können (Definitionsmenge, Zielmenge, Abbildungsvorschrift, injektiv, surjektiv, bijektiv, Umkehrfunktion).
   
3. Die Form der Operatortabelle kennen.
   
4. Die Begriffe Umkehroperator, neutraler Operator, Verkettung von Operatoren erläutern können.
   
5. Darstellungsformen (Veranschaulichungen, Aufgabenstellungen, Übungsformen) von algebraischen Operatoren im Unterricht (Veranschaulichungen, aber auch Lernschwierigkeiten) kennen und ihre Vorteile aber auch Probleme diskutieren können.
   
6. Bedeutung der Operatoren für das Üben des Rechnens in N kennen.
   
7. Einführung der Brüche als Operatoren schrittweise erläutern können.
   
8. Bedeutung der Operatordarstellung in den 3 Grundaufgaben der Prozentrechnung wissen.
   
   
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1. Bedeutung der Größen und ihrer Repräsentanten für die Bruchsbegriffsbildung kennen (Veranschaulichung durch Rechteck, Kreis, Strecke, aber auch Anwendung auf Größenangaben in kg, m, h usw.).
   
2. Den methodischen Weg vom Verketten von Operatoren bis zu den Bruchoperatoren beschreiben können (Unterrichtssequenz).
   
3. Die folgenden Stationen eines Bruchrechenlehrganges kennen:
   a) Einführung: Bruch, Bruchzahl, gleichwertige Brüche.
   b) Kürzen und Erweitern.
   c) Größenvergleich von Brüchen: 1/4 < 1/3
   d) Addition und Subtraktion von Brüchen.
   e) Multiplikation und Division von Brüchen.
   
4. Zu jeder der in 3) genannten Stationen die entsprechende Methodik beschreiben können (einschließlich der gängigen Veranschaulichungen und der üblichen Übungsformen).
   
5. Die Bedeutung der Interpretation von Brüchen als Operatoren für das Bruchrechnen erläutern können
   
6. Die Bruchzahl als Äquivalenzklasse wertgleicher Brüche beschreiben können.
   
7. Mathematische Möglichkeiten der Herleitung von Brüchen wissen (auch wenn sie weniger Praxisbedeutung haben), z.B. als Äquivalenzklassen von Zahlenpaaren (N x N).
   
8. Eine Lernsequenz zu jeder der in 3) genannten Stationen (z.B. Einführung der Addition von Brüchen) strukturieren können.
   
9. Eine Unterrichtseinheit zum Thema "Brüche am Zahlenstrahl" skizzieren können.
   
10. Eine Lernsequenz zum Thema "unechte Brüche/gemischte Zahlen" skizzieren können.
    
11. Eine Unterrichtseinheit zum Thema "Umwandlung von ganzen Zahlen in Brüche und umgekehrt" entwerfen können.
    
12. Zu einzelnen Themen des Bruchlehrgangs operationalisierte Lernziele angeben können.
    
13. Übungen (Beispielaufgaben) und Lernspiele zu einzelnen Themen erstellen können.
    
14. Spezielle Schwierigkeiten des Sachrechnens mit Brüchen kennen.
    
    
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1. Den math. Hintergrund der Erweiterung von N auf Z erläutern können (Äquivalenzklassen differenzgleicher Zahlenpaare aus N_o × N_o).
   
2. Anforderungen an ein Modell für die schulische Behandlung einer Zahlenbereichserweiterung nennen können.
   
3. Für die Einführung der negativen Zahlen in der Schule verschiedene Modelle erläutern können.
   
4. In jedem der Modelle die Einführung von <, von Addition und Subtraktion und von Multiplikation und Division erklären können.
   
5. Lernschwierigkeiten für das Rechnen mit negativen Zahlen kennen und Möglichkeiten der Abhilfe.
   
6. Vorkommen von negativen Zahlen kennen
   
   
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1. Einführung der Dezimalbrüche erläutern können
   a) Als Abstraktion aus vielfältigen Erfahrungen mit der Kommaschreibweise für Größen (siehe Padberg).
   b) Der Erweiterung der Stellenwerttabelle nach rechts.
   c) Als Kombination aus Methodik a) und b)
   d) [Methode Zech, siehe sein Buch: Mathematik erklären und verstehen, Cornelsen]
   
2. Stationen eines Dezimalbruch-Lehrgangs aufzählen und zugehörige Methodik erläutern können
   
   a) Einführung/Begriffsbildung
   b) Zahlenstrahlarbeit
   c) Dezimalbruchsvergleich (<, >)
   d) Verwandeln gemeiner Brüche in Dezimalbrüche (durch Erweitern bzw. durch Fortsetzen der Division über das Komma hinweg)
   e) periodische Dezimalbrüche für Schüler verstehbar machen können sowie mathematisch als konvergente Folgen verstehen
   f) Nachkomma-Nullen, Kürzen und Erweitern bei Dezimalbrüchen
   g) Runden von Dezimalbrüchen
   h) Addition und Subtraktion von Dezimalbrüchen
   i) Multiplikation von Dez.brü. mit einer ganzen Zahl (einstellig), mit einem Dez.bruch
   j) Division von Dez.brü. durch eine ganze Zahl, durch einen Dez.bruch
   
   
3. Verwandlung periodischer Dezimalbrüche in gemeinen Bruch und umgekehrt vorführen können.
   
4. Grundkenntnisse über Näherungsrechnung sowie Fehlerfortpflanzung haben (Details siehe auch bei Größen).
   
5. Beziehung der in der HS relevanten Zahlbereiche untereinander erläutern können sowie Beispiele einordnen (2; 3/4; -2,5; π; √7 , sin 80°).
   
6. Rolle der Dezimalbrü. für das Prozentrechnen kennen.
   
7. Lernschwierigkeiten und Fehler der Schüler kennen sowie Vorbeugungs- und Behebungsmaßnahmen.
   
8. Zu 1) und 2) Unterrichtseinheiten skizzieren können, einschließlich geeigneter Übungssequenzen und Sachaufgaben
   

1. Den Abbildungs- (Funktions)begriff definieren können und die Diagrammarten für Abbildungen (Pfeildiagramm, Tabellenschema, kartesische Darstellung, Funktionsleiter) kennen.
   
2. Eigenschaften einer Funktion (injektiv, surjektiv, bijektiv, monoton) theoretisch und anhand des Pfeildiagramms erklären können.
   
3. Die Eigenschaften injektiv, surjektiv, bijektiv auf Beispiele wie y = 2·x oder y = x² anwenden können und die Frage nach der Umkehrfunktion beantworten können.
   
4. Wissen, was der Lehrplan im Zusammenhang mit Zuordnungen unter gesetzmäßiger Abhängigkeit, was unter nicht-gesetzmäßiger Abhängigkeit versteht und Beispiele geben können.
   
5. Methodik der Einführung des „Achsenkreuzes“ (kartesisches Koordinatensystem) kennen, sowie die Begriffe Rechtswert und Hochwert.
   
6. Methodik der Einführung des Schaubildes einer Funktion im Achsenkreuz (kartesisches Koordinatensystem) kennen.
   
7. Aktivitäten am Schaubild (Graph) einer Funktion kennen – auch bezogen auf eine Sachsituation oder Sachaufgabe.
   
8. Wissen, welche Eigenschaften einer Funktion unter Umständen aus der Zuordnungstabelle (Wertetabelle) abgelesen werden können und an Beispielen erläutern.
   
9. Funktionen klassifizieren können (konstante Funktionen, lineare Funktionen, quadratische Funktionen, usw.).
   
10. Die Schaubilder der in 9) genannten Funktionen kennen.
    
11. Direkte Proportionalität als spezielle lineare Funktionen kennen.
    (Die DIFF-Mappen verwenden die moderne Bezeichnungsweise und sagen "lineare F." zu den direkten Proportionalitäten. Ältere Werke verstehen unter linearen Funktion solche des Typs y = a·x+b).
    
12. Für direkten und indirekten Schluss je mindestens eine Musteraufgabe nennen können.
    
13. Methoden zur Unterscheidung der beiden Aufgabentypen im MU der HS erläutern können.
    
14. Für selbstgewählte Aufgaben zur direkten Proportionalität die bisher gebräuchliche Lösungsmethode, den Dreisatz, vorführen können.
    
15. Die moderneren Lösungsmethoden, die stärker den Funtionsbegriff betonen, kennen.
    
16. Für indirekte Proportionalität an Beispielaufgaben verschiedene Lösungsmethoden vorführen können.
    
17. Produktgleiche Größenpaare und quotientengleiche Größenpaare aus Beispielaufgaben angeben sowie erläutern, wofür man diese Begriffe braucht.
    
18. Den Proportionalitätsfaktor für verschiedene einschlägige Beispiele proportionaler Zuordnungen angeben können, z.B. die Bezeichnungen Kilopreis oder Stundenlohn.
    
19. Mehrere Situationen angeben können, in denen proportionale Zuordnungen von Größen eine Rolle spielen und auch von welchen Annahmen dabei ausgegangen wird.
    
20. Rolle der Schlussrechnung für die Prozentrechnung beschreiben können.
    (Lösung per Dreisatz: z.B. 80% = 720 DM;    10% = 720 DM / 8;    70% = 90 DM · 7)
    
21. Sachaufgaben zur direkten und indirekten Proportionalität vorbildhaft lösen können, sowie Methodik der unterrichtlichen Behandlung solcher Aufgaben wissen.
    
22. Komplizierte Quali-Aufgaben zur indirekten Proportionalität lösen und für die Behandlung im Unterricht aufbereiten können.
    
23. Rolle der Funktionen im Zusammenhang mit dem Prozentrechnung analysieren können (Ausgangspunkt sind alle drei Aufgabentypen der Grundaufgaben).
    
24. [Den Begriff Maßfunktion erläutern können, z.B. am Beispiel der Längen oder des Flächeninhaltes.]
    
25. [Wichtige Eigenschaften der Maßfunktion der Länge (bzw. des Flächeninhalts) kennen.]
    
26. Die Verknüpfungen + und · in N (bzw.Q) als Abbildungen deuten können.
    
27. Die algebraischen Operatoren (siehe dort!) als Funktionen erläutern können.
    
28. Den Taschenrechner zur Lösung von Sachaufgaben einsetzen können.
    
    

Geometrische Abbildungen siehe Themenkreis Geometrie!

1. Verschiedene Wege der Einführung des Prozentbegriffs schildern können.
   
2. Den Anteilsaspekt des Prozentbegriffs erläutern können.
   
3. Den Zuordnungsaspekt (Funktionsaspekt) des Prozentbegriffs erläutern können.
   
4. Verschiedene Veranschaulichungen des Prozentbegriffs wissen und an Beispielen darstellen können.
   
5. Die Begriffe Grundwert, Prozentsatz, Prozentwert richtig anwenden können.
   
6. Die 3 Grundaufgaben der Prozentrechnung kennen und je ein Beispiel angeben können.
   
7. Beispiele für Sachaufgaben der Prozentrechnung wissen und den Grundaufgaben zuordnen können.
   
8. Jeden der 3 Aufgabentypen am Operatormodell beschreiben können.
   
9. Zu jeder der 3 Grundaufgaben mehrere Lösungsverfahren an selbst entworfenen Aufgaben vorführen können.
   
10. Aufgaben der Prozentrechnung als Zuordnungen deuten und Definitions- und Zielmenge angeben können (welche Größenbereiche kommen in Sachaufgaben vor?).
    
11. Graphische Darstellungen zum Prozentrechnen kennen und ihren Einsatz für das Lösen von Aufgaben wissen.
    
12. Die in der Funktionsgleichung P = p/100 · G steckenden Proportionalitäten an Beispielen erläutern können.
    
13. Die schulische Behandlung der Aufgaben zum "vermehrten" bzw. "verminderten Grundwert" erläutern können, hierbei auf 1. und 2. Grundaufgabe eingehen.
    
14. Fachbezeichnungen aus der Warenkalkulation kennen und ein Kalkulationsbeispiel mit den Mitteln der Prozentrechnung vorführen können.
    
15. Ein Kalkulationsbeispiel im Streifendiagramm darstellen können.
    
16. Den Promillebegriff definieren können und wissen, wo er gebraucht wird.
    
17. Einführung der Begriffe Zins, Zinsfuß, Kapital, Jahreszins, Monatszins, Tageszins im MU der HS erläutern können.
    
18. Die Grundaufgaben des Zinsrechnens kennen und an Beispielen deren Lösung skizzieren können.
    
19. Aufgaben zum Zinseszins lösen und Formel herleiten können.
    
20. Beispiele für Wachstumsprozesse wissen und den Zusammenhang mit dem Zinsrechnen herstellen können.
    
21. Für alle oben genannten Aufgaben des Prozentrechnens jeweils den Taschenrechner-Einsatz erläutern können.
    
    
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1. Einführung des Taschenrechners als Unterrichtssequenz skizzieren können.
   
2. Bedeutung der Überschlagungsrechnung wissen und mit Beispielen belegen können.
   
3. Argumente pro und contra TR-Einsatz kennen.
   
4. Ziele und Methodik des ITG-Unterrichts kennen.
   
5. Möglichkeiten des Computereinsatzes im MU der HS kennen.
   
6. Die Möglichkeiten der Tabellenkalkulation für die HS kennen
   
7. Die Möglichkeiten der dynamischen Geometrie-Software für die HS kennen.
   
   
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1. Definition der Verknüpfungen als Abbildung formulieren können –
   Beispiele für Verknüpfungen in N, Z und anderen Zahlenmengen –
   Beispiele für Verknüpfungen von Operatoren.
   
2. Spezielle Eigenschaften von Verknüpfungen definieren sowie je ein Beispiel und ein Gegenbeispiel nennen können
   a) kommutativ
   b) assoziativ
   c) Existenz des neutralen Elementes
   d) Existenz des inversen Elementes
   
3. Die Definition einer Gruppe aufschreiben können.
   
4. Beispiele von Verknüpfungsgebilden, die Gruppen sind, wissen, und zeigen können, warum sie Gruppen sind.
   
5. Beispiele für endliche und unendliche Gruppen wissen.
   
6. Wichtige Folgerungen aus den Gruppenaxiomen wissen (z.B. Rechengesetze).
   
7. Was haben Zahlenbereichserweiterungen mit der Gruppenstruktur zu tun? z.B. von N auf Z.
   
   
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1. Die exakten Bezeichnungen der geometrischen Gebilde und ihre charakteristischen Eigenschaften wissen
   Grundformen: Strecke, Strahl, Gerade, Kreis: gegebenenfalls als Punktmenge definieren können.
   Körper: Quader, Würfel, Prisma, Zylinder, Kugel, Kegel, Pyramide, Tetraeder.
   ebene Figuren: Dreiecke und Vierecke sowie sonstige Vielecke definieren können.
   
2. [Schnittmengen von Punktmengen geometrisch deuten können.]
   
3. Die exakten Bezeichnungen der möglichen Eigenschaften geometrischer Gebilde wissen (z.B. gerade und krumm bei Linien).
   
4. Die wichtigen geometrischen Relationen (z.B. parallel, senkrecht usw.) definieren können und Anwendungsbeispiele kennen.
   
5. Verschiedene Möglichkeiten, "parallel" zu definieren, kennen, ebenso für "senkrecht".
   
6. Einführungsstunden zu den Begriffen "parallel" und "senkrecht" skizzieren können.
   
7. Die verschiedenen Konstruktionen von Parallelen beherrschen und beschreiben können.
   
8. Unterrichtssequenz zum Winkelbegriff erläutern können.
   
9. Unterrichtseinheit zur Klassifizierung der Winkel skizzieren können.
   
10. Unterrichtseinheit zur Einführung der Winkelmessung skizzieren können.
    
11. Den Satz von der Winkelsumme im Dreieck formulieren und einen math. Beweis geben können.
    
12. Die unterrichtliche Behandlung des Winkelsatzes wissen.
    
13. Folgerungen aus dem Wi-summensatz, die auch im MU der HS Bedeutung haben, wissen.
    
14. Die wichtigsten Grundkonstruktionen beherrschen, beschreiben und begründen können.
    
15. Die Bedeutung des Zeichnens und Konstruierens für den MU der HS erläutern können.
    
16. Wissen, was man im Geometrieunterricht unter dem "Betrachten" versteht und eine Stunde zur Betrachtung einer oder mehrerer der Körperformen sowie eine Stunde zur Unterscheidung der Vierecksformen skizzieren können.
    
    
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1. Ordnungsmöglichkeiten für Dreiecke, u.a. das "Haus der Dreiecke" und dessen Interpretation kennen sowie die unterrichtliche Behandlung davon.
   
2. Ordnungsmöglichkeiten für Vierecke sowie das "Haus der Vierecke" und dessen Interpretationen kennen sowie die unterrichtliche Behandlung davon.
   
3. Verschiedene Definitionen für Parallelogramm, Trapez, Raute, Drachenviereck wissen, z.B. auch die über die Diagonaleneigenschaften.
   
4. Die Äquivalenz von zweierlei Definitionen eines Figurentyps beweisen können.
   
5. Besondere Eigenschaften von Figuren (Diagonaleneigenschaften, Symmetrien, Umkreis usw.) wissen
   
6. Die besonderen Linien im Dreieck kennen sowie ihre Konstruktion und ihre Eigenschaften wissen und beweisen können.
   
7. Die Beweise dafür wissen, dass sich die 3 Höhen (die 3 Winkelhalbierenden, die 3 Mittelsenkrechten, die 3 Seitenhalbierenden) im Dreieck jeweils in einem Punkt schneiden.
   
8. Die wichtigsten Aussagen über Umkreis und Inkreis von Dreiecken und Vierecke wissen und beweisen können.
   
9. Den Satz von der Winkelsumme im Dreieck beweisen können und seine unterrichtliche Behandlung wissen.
   
10. [Aussagen zum "Fasskreisbogen"' kennen und beweisen können (Umfangswinkelsatz, Mittelpunktswinkelsatz).]
    
11. Reguläre (regelmäßige) Vielecke definieren können. Formel für Innenwinkel eines regulären n-Ecks herleiten können.
    
12. Zu den vorangegangenen Themen jeweils Stellung im Lehrplan wissen und Unterrichtseinheiten (Sequenzen) entwerfen können sowie Veranschaulichungsmedien dafür wissen.
    
13. Schüleraktivitäten zu obigen Themen wissen.
    
14. Spiele und anregende Übungen zum Geometrieunterricht kennen.
    
15. Medien und Aufgabenstellungen für das handlungsorientierte Lernen im Geometrieunterricht erläutern können.
    
16. Über den Einsatz von dynamischer Geometriesoftware zur Erforschung der Eigenschaften von Figuren und zur Beobachtung von "Geometrischen Orts-Linien" Bescheid wissen.
    
    
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1. Grundsätzliches zur Methodik der Einführung einer neuen Größenart wissen (siehe: Größen).
   
2. Axiome für die Maßfunktion "Flächeninhalt" wissen.
   
3. Definition der Parkettierung (lückenloses Auslegen mit kongruenten Figuren) wissen und Beispiele von Figuren nennen, die zur Parkettierung der Ebene geeignet sind.
   
4. Die Schlagworte unmittelbarer und mittelbarer Vergleiche hinsichtlich der Flächenmessung erläutern können.
   
5. Die mathematische Erklärung der Begriffe deckungsgleich, zerlegungsgleich, flächengleich wissen.
   
6. Eine Unterrichtsstunde zur Herleitung der Flächenformel des Rechtecks beschreiben können.
   
7. Die Flächenberechnungen der anderen bekannten Vierecke, sowie des Dreiecks wissen und die unterrichtlichen Überlegungen dazu wissen.
   
8. Die Flächenformeln für Parallelogramm, Trapez und Dreieck begründet herleiten können.
   
9. Unterrichtseinheit zur Berechnung des Rechteckumfanges darstellen können.
   
10. Für Umfangs- und Flächenberechnungsthemen des Geometrieunterrichts das operative Prinzip erläutern können, Rolle des operativen Übens durch Skizze einer Aufgabenfolge zeigen können.
    
11. Methodik der Behandlung von Formeln erläutern können.
    
12. An der Rechtecksflächenformel funktionale Zusammenhänge wie dir./indir. Prop. aufzeigen können.
    
13. Das Umrechnen verschiedener Maßeinheiten beherrschen und die unterrichtliche Behandlung wissen.
    
14. Am Beispiel der Umfangsformel des Rechtecks zeigen, wie man im MU der HS Termumformungen einführt.
    
15. Die unterrichtliche Behandlung des "Zusammenhangs" zwischen Flächeninhalt und Umfang erläutern können.
    
16. Die Berechnung des Kreisumfanges beherrschen, die mathematische Herleitung der Formelvorführen können und die unterrichtliche Erarbeitung der Formel erläutern können.
    
17. Die Berechnung des Flächeninhaltes eines Kreises beherrschen, verschiedene mathematische Herleitungen vorführen können; sowie die übliche Unterrichtsmethode samt operativer Übungen und Anwendungsaufgaben zu o.g. Themen vorführen können.
    
    
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1. Die im MU der HS gebräuchlichen Körper (Würfel, Quader, Prisma, Pyramide, Zylinder, Kegel, Kugel, auch Stümpfe, sowie alle Sonderformen wie quadratische Säule oder 6-seitige Pyramide oder Tetraeder) math. exakt definieren können.
   
2. Die geometrischen Eigenschaften von o.g. Körpern nennen können.
   
3. Den Eulerschen Polyedersatz wissen und an einigen Körpern erläutern können.
   
4. Die Aussage der Psychologie über Raumwahrnehmung und Raumvorstellung erläutern können.
   
5. Einteilung der Körpermodelle in sogenannte Vollmodelle, Kantenmodelle, Flächenmodelle erläutern können.
   
6. Die unterrichtliche Behandlung der Körpernetze kennen.
   
7. Die Dreitafeldarstellung eines Körpers einsichtig herleiten können (Grundriss, Aufriss, Seitenriss).
   
8. Die unterrichtliche Herleitung des "Schrägbildes" wissen.
   
9. Die mathematische Herleitung der perspektivischen Darstellung von Körpern (Parallel- und Zentral-Projektion) wenigstens skizzieren können.
   
10. Die oben genannten zweidimensionalen Darstellungen dreidimensionaler Körper miteinander vergleichen können (Vergleichskriterien kennen).
    
11. Netz, 3-Tafel-Darstellung und Schrägbild von (auch zusammengesetzten) Körpern nach vorgegebenen Maßen konstruieren (zeichnen) können.
    
12. [Den Einsatz des Computers für die Erzeugung der o.g. zweidimensionalen Darstellungen der Körper kennen.]
    
    
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1. Die grundsätzlichen Schritte der Einführung einer neuen Größe am Begriff Volumen vorführen können.
   
2. Das Quadervolumen, hergeleitet nach der Schichtenmethode, berechnen können und die unterrichtliche Einführung der Formel wissen.
   
3. Operative Übungen zum Quadervolumen wissen, Würfelberechnungen einführen können.
   
4. Umrechnungen der Volumeneinheiten unterrichtlich behandeln können.
   
5. Eine Unterrichtseinheit über eine Sachaufgabe zum Thema Quadervolumen planen können (Aufgaben erfinden, Hilfen zur Lösung wissen, Schülerfehler und Abhilfe kennen, anregende Übungen wissen).
   
6. Mindestens eine Möglichkeit der Herleitung der Volumenberechnung des Prismas im Unterricht beschreiben können.
   
7. Mathematische Herleitung der Volumenformel für Prisma und des Zylinders vorführen können.
   
8. Mathematische Herleitung der Volumenformel für Pyramide vorführen können.
   
9. Eine Unterrichtseinheit zur Einführung der Formel für die Pyramide skizzieren können.
   
10. [Volumenformel für die Kugel wissen und eine gängige Methode, sie im Unterricht einzuführen.]
    
11. Mathematische Herleitung der Volumenformel für den Kegel wissen.
    
12. Die unterrichtliche Einführung der Volumenformel für den Kegel skizzieren können.
    
13. Das Prinzip von Cavallierie wissen und erläutern können, wo man es anwendet.
    
14. Zur Oberflächenberechnung der o.g. Körper sowohl fachliches als auch didaktisches Wissen haben (besonders zu Pyramide und Kegel).
    
    

Hinweis: Taschenrechnereinsatz hierzu planen können

1. Die Aussage des Satzes von Pythagoras und seiner Umkehrung ausführlich wiedergeben können und mindestens drei Beweise kennen.
   
2. Die Satzgruppe des Pythagoras kennen (Welche anderen Sätze gehören noch zur Satzgruppe? Man nimmt sie gewöhnlich im Unterricht der HS nicht durch).
   
3. Methodik der Einführung des Satz des Pythagoras im MU der HS wissen (verschiedene Möglichkeiten erläutern und diskutieren können).
   
4. Die sogenannte Zwölfknotenschnur kennen und wie sie verwendet wurde, sowie den Zusammenhang zum Satz des Pythagoras.
   
5. Wissen, was man unter pythagoreischen Tripeln versteht und ihre Bedeutung für die Beschäftigung mit dem Satz des Pythagoras kennen.
   
6. Wissen, wo im MU der HS vom Satz des Pythagoras Gebrauch gemacht wird und Beispiele sowie Sachaufgaben wissen.
   
7. Über die Schülerfehler und –schwierigkeiten im Zusammenhang mit der Anwendung des Pythagoras Bescheid wissen und Abhilfemöglichkeiten kennen.
   
8. Die Berechnung der Raumdiagonalen eines Quaders vorführen können und eine UE dazu entwerfen können, hierbei vor allem auf anschauliche Hilfen achten.
   
9. Die Didaktik und Methodik zum Thema Wurzeleinführung kennen (in diesem Zusammenhang über verschiedene Zahlbereiche und deren Behandlung im MU der HS Bescheid wissen).
   
   
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1. Geometrische Abbildungen der Ebene in sich kennen und die speziellen Abbildungen (Spiegelung, Drehung, Translation) definieren, sowie auf gegebene Punkte bzw. Figuren anwenden können. Auch deren Verkettungen beherrschen.
   
2. Definieren können, was eine Kongruenzabbildung ist.
   
3. Die einzelnen Kongruenzabbildungen je für sich definieren können und die zugehörige Zirkel-Lineal-Konstruktion ausführen und beschreiben können.
   
4. Die wichtigsten Eigenschaften der Spiegelung, Drehung, Translation, sowie der Punktspiegelung und die zugehörige Unterrichtsmethodik wissen
   
5. Die Unterrichtsmethodik zu jeder der genannten geometrischen Abbildungsarten wissen.
   
6. Eventuell vorhandene Fixpunkte und Fixgerade und etwaige weitere Fixelemente zu den genannten Abbildungen angeben können.
   
7. Definieren können, wann eine Figur achsensymmetrisch heißt, wann drehsymmetrisch, wann translationssymmetrisch. Beispiele von solchen Figuren angeben können, sowie Gegenbeispiele.
   
8. Beispiele aus dem Geometrieunterricht wissen, wo die Eigenschaften der Spiegelung oder Drehung angewendet werden. siehe auch unter geometrischen Operatoren: Deckbewegungen .
   
9. Die Vorkenntnisse aus der Grundschule zu den Begriffen Achsensymmetrie, Drehsymmetrie und Translationssymmetrie wissen.
   
10. Das Herstellen von symmetrischen Figuren oben genannter Art bzw. Ergänzen aus Teilfiguren kennen und beschreiben können.
    
11. Die didaktische Funktion der Kongruenzabbildungen wissen, d.h. wo benützt der MU der Schule die Eigenschaften der Abbildungen.
    
12. Materialien und Schüleraktivitäten zur unterrichtlichen Behandlung o.g. Abbildungen wissen.
    
13. Scherung als geometrische Abbildung definieren können, ihre Eigenschaften kennen und wo sie im Unterricht vorkommt.
    
14. Über Ähnlichkeitsabbildungen und die Strahlensätze Bescheid wissen.
    
15. Die Gruppe der Deckabbildungen einer Figur aufstellen können (für Rechtecke, Raute, gleichseitiges Dreieck)
    
    
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1. Begriff der topologischen Äquivalenz beherrschen (einschließlich der Anwendung auf Beispiele)
   
2. Kurven nach ihren topologischen Eigenschaften (z.B. offen - geschlossen) klassifizieren können.
   
3. Die wichtigsten Sätze über topologische Netze wissen und auf Beipiele anwenden können.