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\begin{document}

\noindent{\bf Mathematisches Oberseminar} {\it PDG und
Spektraltheorie} (WiSe 2015/16).

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\noindent{\bf Date:} 05.11.2015.

\noindent{\bf Time and place:} 14:15 in B 134.

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\noindent{\bf Speaker:} Maik Urban (LMU).

\noindent{\bf Titel:} {\it {\"U}ber ein Dirichlet-Problem einer nicht-lokalen Monge-Amp\`ere Gleichung.}


\noindent{\bf Abstract:}

\noindent 	In einem k{\"u}rzlich von L. Caffarelli und L. Silvestre
        ver{\"o}ffentlichten Artikel wird ein nicht-linearer
        Integro-Differentialoperator der Ordnung $s \in (1,2)$
        untersucht, welcher als ein nicht-lokaler Monge-Amp\`ere
        Operator verstanden werden kann.  
	Bei der klassischen Monge-Amp\`ere Gleichung
	\begin{equation*}
	\det D^2 u(x) = f (x, u(x), \nabla u(x) ) \quad \textrm{ f{\"u}r alle } x \in  \Omega,
	\end{equation*}
	die in einer Vielzahl von Problemen in der Analysis und
        Geometrie auftritt, handelt es sich um eine nicht-lineare
        partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung. Hierbei ist
        $\Omega \subset \mathbb{R}^d$ offen und konvex, $f \: \colon
        \Omega \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}^d \rightarrow
        \mathbb{R}$ gegeben und $u$ die gesuchte reellwertige Funktion
        auf $\Omega$. In meinem Vortrag werde ich auf die Definition
        dieses nicht-lokalen Monge-Amp\`ere Operators eingehen und ein
        Dirichlet-Problem f{\"u}r die entsprechende nicht-lokale
        Monge-Amp\`ere Gleichung diskutieren. Dabei werde ich auch
        kurz auf den fraktionellen Laplace-Operator $- ( -
        \Delta)^{s/2}$ der Ordnung $s \in (0,2)$ sowie auf
        verschiedene Darstellungen des klassischen Monge-Amp\`ere
        Operators $\det D^2 u$ zu sprechen kommen. 

 


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Thomas {\O}stergaard S{\o}rensen

\end{document}

