
\documentclass{report}

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\begin{document}

\noindent{\bf Mathematisches Oberseminar} {\it PDG und
Spektraltheorie} (SoSe 2016).

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\noindent{\bf Date:} 22.09.2016.

\noindent{\bf Time and place:} 14:15 in B {\bf 252}.

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\noindent{\bf Speaker:} Tobias K{\"o}nig (LMU M{\"u}nchen).

\noindent{\bf Titel:} {\it {\"U}ber die
Vorzeichenwechsel radialer Eigenfunktionen von fraktionellen
Schr{\"o}dinger-Operatoren.}


\noindent{\bf Abstract:}

\noindent Ob die Aussagen der Sturmschen Oszillationstheorie f\"ur radiale
Eigenfunktionen des \textit{fraktionellen} Schr\"odinger-Operators
$(-\Delta)^s + V$ auf $L^2(\mathbb{R}^N)$ mit $s \in (0,1)$ gelten, ist bislang eine
offene Frage. Als teilweise Best\"atigung haben Frank, Lenzmann und
Silvestre 2013 bewiesen, dass f\"ur h\"olderstetige, radial steigende
Potentiale $V$ die zweite Eigenfunktion $\psi_2$ auf $[0, \infty)$
genau einmal das Vorzeichen wechselt.   

Ich zeige in meinem Vortrag die wesentlichen Schritte zum Beweis
dieses Resultates auf: eine obere Schranke an die Vorzeichenwechsel
von $\psi_2$, die durch ein Argument "\`a la Courant" sowie
topologische \"Uberlegungen erhalten wird, sowie ein
Stetigkeitsargument in $s$.   

Au{\ss}erdem stelle ich eine induktive Fortsetzung des topologischen
Arguments von Frank et al. vor, die obere Schranken an die
Vorzeichenwechsel beliebig hoher Eigenfunktionen liefert. Damit
l\"asst sich zeigen, dass die dritte Eigenfunktion genau zwei
Vorzeichenwechsel auf $[0, \infty)$ hat. 


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Thomas {\O}stergaard S{\o}rensen

\end{document}

