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\begin{document}

\newtheorem*{theorem}{Theorem}

\noindent{\bf Mathematisches Oberseminar} {\it PDG und
Spektraltheorie} (SoSe 2016).

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\noindent{\bf Date:} 30.06.2016.

\noindent{\bf Time and place:} 14:15 in B 134.

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\noindent{\bf Speaker:} Leonhard Gebauer (LMU).

\noindent{\bf Titel:} {\it Die Nehari-Mannigfaltigkeit zur L\"{o}sung einer semilinearen nicht-lokalen Differentialgleichung.}


\noindent{\bf Abstract:} In einem von W. Chen und S. Deng ver\"{o}ffentlichten
Artikel aus dem Jahr 2014 wird die Existenz zweier nicht-trivialer
(schwacher) L\"{o}sungen f\"{u}r folgendes konkav-konvexes Problem bewiesen: 
\begin{align}
\begin{cases}
(-\Delta)^su = \lambda u^r + u^q & \textrm{in }\Omega, \\
u >0& \textrm{in }\Omega, \\
u=0& \textrm{auf }\mathbb{R}^n\backslash\Omega,
\end{cases}
\label{Gleichung}
\end{align}
wobei $0<r<1<q$, $\lambda>0$, $\Omega\subseteq \mathbb{R}^n$ offen und
beschr\"{a}nkt sowie $s\in(0,1)$. Als zentrale Methode kommt hierbei die
Nehari-Mannigfaltigkeit zum Einsatz. Die Nehari-Mannigfaltigkeit ist
definiert als 
\begin{align*}
\mathcal{N}:=\left\lbrace u\in X_0: J'(u)u=0\right\rbrace
\end{align*}
wobei $J$ das zu (\ref{Gleichung}) assozierte Funktional auf einem
geeigneten Hilbert-Raum $X_0$ sei. Es stellt sich heraus, dass $J$ auf
$\mathcal{N}$ koerciv und nach unten beschr\"{a}nkt ist. Weiter l\"{a}sst sich
zeigen, dass ein Extremum auf $\mathcal{N}$ bereits ein kritischer
Punkt von $J$ auf ganz $X_0$ ist. Eine Beweisskizze davon werde ich in
meinem Vortrag nach einer kurzen Einf\"{u}hrung in das
funktionalanalytische Setting von $(-\Delta)^s$ aufzeigen, bevor ich
anschlie\ss end mit Standardmethoden aus der Variationsrechnung die
Existenz zweier nicht-trivialer L\"{o}sungen von (\ref{Gleichung})
beweisen m\"{o}chte. 

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Thomas {\O}stergaard S{\o}rensen

\end{document}