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\title{{Regularity of atomic and molecular Coulombic
    eigenfunctions and associated electron densities}}



\begin{document}



\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\N}{{\mathbb N}}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\C}{{\mathbb C}}
\newcommand{\sphere}{{\mathbb S}}
\newcommand{\dist}{{\operatorname{dist}}}
\newcommand{\supp}{\operatorname{supp}}
\newcommand{\Arsinh}{\operatorname{Arsinh}}
\newcommand{\Arcosh}{\operatorname{Arcosh}}
\newcommand{\Artanh}{\operatorname{Artanh}}
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\newcommand{\rot}{\operatorname{rot}}
\newcommand{\divergens}{\operatorname{div}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{slide}


\noindent{\bf 8. Tutorium zu MPIIA}  \hspace*{\fill}{13.06.-16.06.2005}


\noindent{\bf Aufgabe 22:} Sei \(f:\mathbb R^3\to\mathbb R^3\),
\begin{align*}
  f(x,&y,z)\\&=(x\sin(x+yz),2xy^2e^{-x^2+2yz},x^4y^2z)
\end{align*}
a) Berechnen Sie alle partielle Ableitungen 1. und 2. Ordnung von
\(f_1,f_2,f_3\), sowohl als \\\noindent \(\nabla f_1, \nabla f_2, \nabla f_3, \divergens
f, \rot f, \Delta f_j,j=1,2,3\).
\\\noindent b) Berechnen Sie die Richtungsableitung von
\(f_1\) in die Richtungen \((-1,0,1)\) und
\((\frac13,\frac13,\frac13)\). 

\noindent{\bf Aufgabe 23:} Sei \(f:\mathbb R^+\times\mathbb R^+\to\mathbb
R\) gegeben durch
\begin{align*}
  f(x,y)=\frac{x-y}{x+y}.
\end{align*}
Berechnen Sie die Taylorreihe der Ordnung \(2\) von \(f\) an der Stelle
\((1,1)\).

% Bestimmen Sie die kritischen Punkten  (d.h. Punkte
% an denen der Gradient verschwindet) von \(f(x,y)=yxyxyx\), und   bestimmen Sie an diesen
% Stellen die Terme der Taylorreihe der Ordnung \(\leq2 \).


\noindent{\bf Aufgabe 24:} Sei
\begin{align*}
  f(x,y)=\begin{cases}
      \frac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2}\ , & (x,y)\neq (0,0)\\
      \quad 0 \qquad\  , & (x,y)=(0,0)
   \end{cases}.
\end{align*}
Berechnen Sie \(\partial_xf, \partial_yf\) f\"ur \((x,y)\in\mathbb
R^2\), und \(\partial_x\partial_yf, \partial_y\partial_xf\) f\"ur \((x,y)=(0,0)\).

\end{slide}

\end{document}