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\title{{Regularity of atomic and molecular Coulombic
    eigenfunctions and associated electron densities}}



\begin{document}



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\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\N}{{\mathbb N}}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\C}{{\mathbb C}}
\newcommand{\sphere}{{\mathbb S}}
\newcommand{\dist}{{\operatorname{dist}}}
\newcommand{\supp}{\operatorname{supp}}
\newcommand{\Arsinh}{\operatorname{Arsinh}}
\newcommand{\Arcosh}{\operatorname{Arcosh}}
\newcommand{\Artanh}{\operatorname{Artanh}}
\newcommand{\Arcoth}{\operatorname{Arcoth}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{slide}


\noindent{\bf 6. Tutorium zu MPIIA}  \hspace*{\fill}{30.05.-02.06.2005}


\noindent{\bf Aufgabe 16:} Sei \\\noindent
\({}\quad C[0,1]:=\{f:[0,1]\to\mathbb R\,|\, f
\text{ ist stetig}\}\). 
\\\noindent a) Zeigen Sie, da\ss\ \(\langle f,g\rangle=\int_0^1f(x)g(x)dx\)
  ein Skalarprodukt auf \(C[0,1]\) definiert.
\\\noindent b) Sei \(f_0(t)=1, f_1(t)=t, f_2(t)=t^2, t\in[0,1]\). Berechnen
  Sie \(\langle f_n,f_m\rangle\) f\"ur \(n,m\in\{0,1,2\}\). 
\\\noindent c) Bilden Sie ein Orthonormalsystem aus\\\noindent
\(f_0,f_1,f_2\). (Schmidtverfahren!) 


\noindent{\bf Aufgabe 17:} Sei \(V\) die Menge aller Nullfolgen, 
\\\noindent
\(V=\{a=(a_1,a_2,\ldots)\,|\, a_j\in\mathbb R, a_j\to0,j\to\infty\}\).
\\\noindent a) Zeigen Sie, da\ss\ \(V\) ein Vektorraum ist.
\\\noindent b) Sei \(\|a\|_\infty=\sup_{j\in\mathbb N}|a_j|, a\in
V\). Zeigen Sie, da\ss\ \(\|\cdot\|_\infty\) eine Norm auf \(V\) ist.



\noindent{\bf Aufgabe 18:} Sei \((V, \|\cdot\|_\infty)\) wie in {\bf
  17},\\\noindent  \(f:V\to V,\  
(a_1,a_2,\ldots)\overset{f}{\mapsto} (1,a_1,a_2,\ldots)\).
\\\noindent a) Zeigen Sie, da\ss\ \\\noindent 
\(\|f(a)-f(b)\|_\infty=\|a-b\|_\infty,\ a, b\in V\).
\\\noindent b) Zeigen Sie, da\ss\ \(f\) {\it keinen} Fixpunkt hat (d.h.,
\(x\neq f(x)\) f\"ur alle  \(x\in V\)).


\end{slide}

\end{document}