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\NeedsTeXFormat{LaTeX2e}[1994/12/01]
 
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\title{{Regularity of atomic and molecular Coulombic
    eigenfunctions and associated electron densities}}



\begin{document}



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\newcommand{\N}{{\mathbb N}}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
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\newcommand{\dist}{{\operatorname{dist}}}
\newcommand{\supp}{\operatorname{supp}}
\newcommand{\Arsinh}{\operatorname{Arsinh}}
\newcommand{\Arcosh}{\operatorname{Arcosh}}
\newcommand{\Artanh}{\operatorname{Artanh}}
\newcommand{\Arcoth}{\operatorname{Arcoth}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%   Number 1

\begin{slide}


\noindent{\bf 2. Tutorium zu MPIIA}  \hspace*{\fill}{25.04.-28.04.2005}


\noindent{\bf Aufgabe 4:} Sei \(a\in\mathbb R\setminus\{0\}\),
\(n\in\mathbb N\). Berechnen Sie folgende Integrale
\begin{align*}
  \int\frac{dx}{(x+a)^n}\ ,
  \int\frac{x\,dx}{(x^2+a^2)^n}\ ,
  \int\frac{dx}{x^2+a^2}\ ,
\end{align*}
und zeigen Sie die folgende Rekursion:
\begin{align*}
  \int\frac{dx}{(x^2+a^2)^{n+1}}&
  =\frac{x}{2na^2(x^2+a^2)^n}\\
  &\quad
  +\frac{2n-1}{2na^2}\int\frac{dx}{(x^2+a^2)^n}.
\end{align*}

\noindent{\bf Aufgabe 5:} 
\begin{enumerate}
\item[a)]
Berechnen Sie die Partialbruchzerlegung
folgender rationelle Funktionen:
\begin{align*}
  &\frac{8}{z^2+2z-15},\frac{4z+1}{z^3-3z-2}\
  ,\frac{1}{z^4+z^2}\ ,\\
  &\frac{1}{z^4-1},
  \frac{z^3-2z^2-2z+12}{z^2-4z+5}.
\end{align*}
\end{enumerate}

\newpage

\noindent{\bf Aufgabe 6:} 
\begin{enumerate}
\item[a)]Berechnen Sie folgende uneigentliche Integrale:
  \begin{align*}\int_0^\infty e^{-x}dx\ ,\quad 
  \int_{-\infty}^\infty\frac{dx}{1+x^2}
 \end{align*}
\item[b)] Untersuchen Sie, f\"ur welche \(\alpha\in\mathbb R\)
  folgende uneigentliche Integrale konvergieren:
  \begin{align*}
  \int_0^1\frac{dx}{x^\alpha}\ ,\quad\int_1^\infty\frac{dx}{x^\alpha}
\end{align*}
\end{enumerate}





\end{slide}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%    Number 2


 


\end{document}