\documentclass[11pt,a4paper,oneside,fleqn]{article} % usepackages \usepackage{latexsym} \usepackage{amstext,amsthm} \usepackage{amsmath} \usepackage{amsfonts,german} % Einstellungen \setlength{\oddsidemargin}{0.46cm} \setlength{\textwidth}{16cm} \setlength{\mathindent}{1cm} \setlength{\topmargin}{-1cm} \setlength{\headheight}{0cm} \setlength{\headsep}{0cm} \setlength{\topskip}{0cm} \setlength{\textheight}{26cm} % Neue Kommandos \newcommand{\fa}{\qquad \forall \quad} \newcommand{\eps}{\varepsilon} \newcommand{\im}{{\rm Im}\,} \newcommand{\re}{{\rm Re}\,} \newcommand{\be}{\begin{equation}} \newcommand{\ee}{\end{equation}} \newcommand {\field}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand {\B}{\mathcal{B}} \newcommand {\C}{\field C} \newcommand {\D}{\mathcal{D}} \newcommand {\E}{\mathcal{E}} \newcommand {\F}{\field{F}} \newcommand {\G}{\mathcal{G}} \newcommand {\K}{\mathbb{K}} \newcommand {\Ll}{\mathcal{L}} \newcommand {\N}{\field N} \newcommand {\Oo}{\mathcal{O}} \newcommand {\PP}{\mathcal{P}} \newcommand {\Q}{\field Q} \newcommand {\R}{\field R} \newcommand {\Ss}{\mathcal{S}} \newcommand {\T}{\field T} \newcommand {\Z}{\field Z} \newcommand {\Kern}{\mathrm{Kern}} \newcommand {\Bild}{\mathrm{Im}} \newcommand {\Det}{\mathrm{det}} \renewcommand {\dim}{\mathrm{dim}} \newcommand {\Hom}{\mathrm{Hom}} \newcommand {\Spur}{\mathrm{Spur}} \newcommand {\rg}{\mathrm{rg}} \newcommand {\ol}{\overline} \newcommand {\M}{\mathcal{M}} \newcommand {\cV}{\mathcal{V}} \newcommand {\cO}{\mathcal{O}} \newcommand {\fx}{\mathbf{x}} \newcommand {\fb}{\mathbf{b}} \newcommand {\fq}{\mathbf{q}} \newcommand {\fv}{\mathbf{v}} \newcommand {\lap}{\bigtriangleup} \newcommand {\lkl}{\langle} \newcommand {\rkl}{\rangle} % Umgebung fuer Saetze \newtheorem{satz}{Satz}%[section] \newtheorem{lemma}[satz]{Lemma} \newtheorem{hilfssatz}[satz]{Hilfssatz} \newtheorem{korollar}[satz]{Korollar} \newtheorem{prop}[satz]{Proposition} \newtheorem{defi}[satz]{Definition} \newtheorem{bem}[satz]{Bemerkung} \newtheorem{beis}[satz]{Beispiel} \begin{document} \pagestyle{empty} \noindent Mathematisches Institut der Universit\"at M\"unchen \hspace{5cm} 02.07.2005\\ Prof. Dr. Heinrich Steinlein \\ \vspace{0.2cm} %\ % \begin{center} {\huge \bf {1. Klausur zu MPIIA }} \end{center} \vspace{0.2cm} {\Large Nachname: .............................................................................. \\[0.5cm] Vorname: ................................................................................\\[0.5cm] Geburtsdatum: ...................................................\\[0.5cm] %\vspace{0.5cm} {\huge \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline Aufgabe & \ 1 \ & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & $\Sigma$ \\ \hline \hspace{4cm} & \hspace{0.6cm}&\hspace{0.6cm} &\hspace{0.6cm} &\hspace{0.6cm} &\hspace{0.6cm} &\hspace{0.6cm} & \hspace{1.3cm} \\ \hline \end{tabular}} \\[0.3cm] %\vspace{0.2cm} \normalsize \noindent Diese Angabe hat 6 Bl\"atter (6 Aufgaben), bitte {\bf GLEICH} jedes Blatt mit Namen versehen, und Schein unten ausf\"ullen. Die L\"osungen nicht auf ein Blatt mit der Angabe zu einer anderen Aufgabe schreiben! \\ Die {\bf L\"osungen} sollten mit allen Zwischenschritten klar aufgeschrieben werden. Resultate ohne ausreichende, folgerichtige Begr\"undungen werden nicht akzeptiert. {\bf In der Vorlesung bewiesene Resultate d\"urfen verwendet werden, nicht aber im Tutorium und in der \"Ubungen bewiesene Aussagen.} \\[0.7cm] \newpage \noindent {\Large Nachname: ..................................... Vorname: ........................................\\[0.5cm]} --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\[-0.4cm] --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ {\bf Aufgabe 1: (6 Punkte)}\\ \begin{enumerate} \item[(a)] Man finde eine Stammfunktion zu \(f(x)=x^3\sin(x^2)\). (Hinweis: partielle Integration). \item[(b)] Existiert das uneigentliche Integral \(\int_1^\infty x^{-x}\,dx\) ? (Hinweis: vergleiche mit \(\int_2^\infty x^{-\alpha}\,dx\) f\"ur passende \(\alpha\)). \end{enumerate} --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\[-0.4cm] --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ \newpage \noindent {\Large Nachname: ..................................... Vorname: ........................................\\[0.5cm]} --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\[-0.4cm] --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ {\bf Aufgabe 2: (6 Punkte)}\\ Man berechne die Bogenl\"ange des Graphen von \(f:[0,1]\to\mathbb R\), \(f(x)=\cosh x\). \ % \\ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\[-0.4cm] --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ \newpage \noindent {\Large Nachname: ..................................... Vorname: ........................................\\[0.5cm]} --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\[-0.4cm] --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ {\bf Aufgabe 3: (6 Punkte)} \begin{enumerate} \item[(a)]Zeige, da\ss\ \(d_1:\mathbb R^n\times\mathbb R^n\to\mathbb R_0^+\) definiert durch \begin{align*} d_1(x,y):=\min\big\{|x-y|,1\big\} \end{align*} eine zur Euklidischen Metrik \(d:\mathbb R^n\times\mathbb R^n\to\mathbb R_0^+\), \(d(x,y):=|x-y|\), \"aquivalente Metrik ist. \item[(b)] Ist in \((\mathbb R^n,d_1)\) jede beschr\"ankte abgeschlossene Menge kompakt? \end{enumerate} --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\[-0.4cm] --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ \newpage \noindent {\Large Nachname: ..................................... Vorname: ........................................\\[0.5cm]} --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\[-0.4cm] --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ {\bf Aufgabe 4: (6 Punkte)} \\ \noindent Sei \(C_0^1[0,1]:=\big\{f:[0,1]\to\mathbb R\,\big|\, f\in C^1[0,1], f(0)=0\,\big\}\). Zeige, da\ss\ \begin{align*} \langle f,g\rangle :=\int_0^1 f'(x)g'(x)\,dx \end{align*} auf \(C_0^1[0,1]\) ein Skalarprodukt definiert. \\\noindent (Der Nachweis, da\ss\ \(C_0^1[0,1]\) Vektorraum ist, wird nicht verlangt.) \ % \\ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\[-0.4cm] --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ \newpage \noindent {\Large Nachname: ..................................... Vorname: ........................................\\[0.5cm]} --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\[-0.4cm] --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ {\bf Aufgabe 5: (6 Punkte)} \\ \noindent Berechne das Taylorpolynom von Grad \(2\) zur Funktion \(f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}\) um den Entwicklungspunkt \((1,0)\). \ % \\ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\[-0.4cm] --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ \newpage \noindent {\Large Nachname: ..................................... Vorname: ........................................\\[0.5cm]} --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\[-0.4cm] --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ {\bf Aufgabe 6: (6 Punkte)} \\ \noindent Sei \(g:\big\{(x,y)\in\mathbb R^2\,|\, x^2+y^2\leq 1\big\}\to\mathbb R\) definiert durch \(g(x,y)=x^2+x-y^2\). \\ \noindent Bestimmen Sie alle globalen und lokalen Extrema von \(g\). \ % \\ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\[-0.4cm] --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ \end{document}