\documentclass[11pt,a4paper,oneside,fleqn]{article}

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 % Einstellungen

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 % Neue Kommandos


\newcommand{\fa}{\qquad \forall \quad}
 \newcommand{\eps}{\varepsilon}
 \newcommand{\im}{{\rm Im}\,}
 \newcommand{\re}{{\rm Re}\,}
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 \newcommand{\ee}{\end{equation}}
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\newcommand {\fv}{\mathbf{v}}
\newcommand {\lap}{\bigtriangleup}
\newcommand {\lkl}{\langle}
\newcommand {\rkl}{\rangle}



 % Umgebung fuer Saetze

 \newtheorem{satz}{Satz}%[section]
 \newtheorem{lemma}[satz]{Lemma}
 \newtheorem{hilfssatz}[satz]{Hilfssatz}
 \newtheorem{korollar}[satz]{Korollar}
 \newtheorem{prop}[satz]{Proposition}
 \newtheorem{defi}[satz]{Definition}
 \newtheorem{bem}[satz]{Bemerkung}
 \newtheorem{beis}[satz]{Beispiel}



\begin{document} 


 \pagestyle{empty}
\noindent Mathematisches Institut der Universit\"at M\"unchen 
\hspace{5cm} 02.07.2005\\
Prof. Dr. Heinrich Steinlein \\

\vspace{0.2cm}

%\ %

\begin{center}
{\huge \bf {1. Klausur zu MPIIA  }}
\end{center} 
\vspace{0.2cm}
{\Large
Nachname: .............................................................................. \\[0.5cm]
Vorname: ................................................................................\\[0.5cm]
Geburtsdatum: ...................................................\\[0.5cm]


%\vspace{0.5cm}

{\huge \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
 Aufgabe  & \ 1 \ & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 &  $\Sigma$ \\
\hline
\hspace{4cm} &
\hspace{0.6cm}&\hspace{0.6cm} &\hspace{0.6cm} &\hspace{0.6cm} 
&\hspace{0.6cm} &\hspace{0.6cm}  & \hspace{1.3cm} \\
\hline
\end{tabular}} \\[0.3cm]

%\vspace{0.2cm}


\normalsize 

\noindent Diese Angabe hat 6 Bl\"atter (6 Aufgaben),
bitte {\bf GLEICH} jedes Blatt mit Namen versehen, und Schein unten
ausf\"ullen.  Die L\"osungen nicht auf ein
Blatt mit der Angabe zu einer anderen Aufgabe schreiben! \\
Die {\bf L\"osungen} sollten mit allen Zwischenschritten
klar aufgeschrieben werden. Resultate ohne ausreichende, folgerichtige
Begr\"undungen werden nicht akzeptiert. {\bf In der Vorlesung bewiesene
Resultate d\"urfen verwendet werden, nicht aber im Tutorium und in der
\"Ubungen bewiesene Aussagen.}
\\[0.7cm]



\newpage \noindent
{\Large
Nachname: .....................................
Vorname: ........................................\\[0.5cm]}
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\[-0.4cm]
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\
{\bf Aufgabe 1: (6 Punkte)}\\ 
\begin{enumerate}
\item[(a)] Man finde eine Stammfunktion zu
  \(f(x)=x^3\sin(x^2)\). (Hinweis: partielle Integration).
\item[(b)] Existiert das uneigentliche Integral \(\int_1^\infty
  x^{-x}\,dx\) ? (Hinweis: vergleiche mit \(\int_2^\infty
  x^{-\alpha}\,dx\) f\"ur passende \(\alpha\)).
\end{enumerate}
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\[-0.4cm]
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\
\newpage \noindent
{\Large
Nachname: .....................................
Vorname: ........................................\\[0.5cm]}
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\[-0.4cm]
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\
{\bf Aufgabe 2: (6 Punkte)}\\

Man berechne die Bogenl\"ange des Graphen von \(f:[0,1]\to\mathbb R\),
\(f(x)=\cosh x\). 

\ % 
\\
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\[-0.4cm]
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\
\newpage \noindent
{\Large
Nachname: .....................................
Vorname: ........................................\\[0.5cm]}
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\[-0.4cm]
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\
{\bf Aufgabe 3: (6 Punkte)}
\begin{enumerate}
\item[(a)]Zeige, da\ss\ \(d_1:\mathbb R^n\times\mathbb R^n\to\mathbb R_0^+\) definiert durch
\begin{align*}
  d_1(x,y):=\min\big\{|x-y|,1\big\}
\end{align*}
eine zur Euklidischen Metrik \(d:\mathbb R^n\times\mathbb R^n\to\mathbb
R_0^+\), \(d(x,y):=|x-y|\), \"aquivalente Metrik ist.  
\item[(b)] Ist in \((\mathbb R^n,d_1)\) jede beschr\"ankte
  abgeschlossene Menge kompakt?
\end{enumerate}
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\[-0.4cm]
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\
\newpage \noindent
{\Large
Nachname: .....................................
Vorname: ........................................\\[0.5cm]}
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\[-0.4cm]
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\
{\bf Aufgabe 4: (6 Punkte)} \\

\noindent Sei \(C_0^1[0,1]:=\big\{f:[0,1]\to\mathbb R\,\big|\, f\in C^1[0,1],
f(0)=0\,\big\}\). Zeige, da\ss\ 
\begin{align*}
  \langle f,g\rangle :=\int_0^1 f'(x)g'(x)\,dx
\end{align*}
auf \(C_0^1[0,1]\) ein Skalarprodukt definiert.
\\\noindent (Der Nachweis, da\ss\  \(C_0^1[0,1]\) Vektorraum ist, wird
nicht verlangt.)


\ %
\\
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\[-0.4cm]
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\ 
\newpage \noindent
{\Large
Nachname: .....................................
Vorname: ........................................\\[0.5cm]}
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\[-0.4cm]
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\
{\bf Aufgabe 5: (6 Punkte)} \\

\noindent Berechne das Taylorpolynom von Grad \(2\) zur Funktion
\(f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}\) um den Entwicklungspunkt \((1,0)\). 

\ %
\\
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\[-0.4cm]
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\
\newpage \noindent
{\Large
Nachname: .....................................
Vorname: ........................................\\[0.5cm]}
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\[-0.4cm]
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\
{\bf Aufgabe 6: (6 Punkte)} \\

\noindent Sei \(g:\big\{(x,y)\in\mathbb R^2\,|\, x^2+y^2\leq 1\big\}\to\mathbb
R\) definiert durch \(g(x,y)=x^2+x-y^2\).
\\

\noindent Bestimmen Sie alle globalen und lokalen Extrema von \(g\).

\ %
\\
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\[-0.4cm]
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\\



\end{document}
