\documentclass[11pt,a4paper,oneside,fleqn]{article}

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 % Umgebung fuer Saetze

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 \begin{document} 
 \pagestyle{empty}
\noindent Mathematisches Institut LMU 
\hspace{7cm} 13.06.2005\\
Prof. Dr. H. Steinlein \\
 \begin{center}

\ %

{\Large \bf {\"Ubungsblatt 9 zu MPIIA}  }
 \end{center}

\ %

\vspace{1cm}

\noindent{\bf Aufgabe 33: (4 Punkte)} 
  \begin{itemize}
\item[a)] Es seien \(f,g:\mathbb R^3\to\mathbb R\) und \(u:\mathbb
  R^3\to\mathbb R^3\) alle aus \(C^2(\mathbb R^3)\). Zeigen Sie:
  \begin{itemize}
  \item[1)] \(\divergens(\rot u)=0\).
  \item[2)] \(\nabla(\divergens u)-\rot(\rot u)=\Delta u\).
  \item[3)] \(\rot(fu)=\nabla f\times u+f(\rot u)\). 
   \end{itemize}
  \item[b)] Zeigen Sie: Sind \(f,g:M\subset\mathbb R^n\to\mathbb R\)
    aus \(C^2(M)\) , so gilt
    \begin{align*}
      \Delta(fg)=(\Delta f)g+2\nabla f\cdot\nabla g+f\Delta g.
    \end{align*}
   \item[c)] Zeigen Sie: Ist \(F:I\to\mathbb R\),
     \(I\subset\,]0,\infty[\,\), eine \(C^2\)-Funktion und
     \(f(x):=F(r)\), wobei \(r:=|x|\), \(x\in\mathbb R^n\), so gilt
     \begin{align*}
       \Delta f(x)=F''(r)+\frac{n-1}{r}F'(r).
     \end{align*}
     \item[d)] Zeigen Sie: Ist \(f:\mathbb R^2\to\mathbb R\) aus
       \(C^2(\mathbb R^2)\) und \(F(r,\varphi):=f(r\cos\varphi,
       r\sin\varphi)\), so gilt
       \begin{align*}
         (\Delta f)(r\cos\varphi,r\sin\varphi)=\Big(\frac{\partial^2 F}{\partial
           r^2}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial F}{\partial
           \varphi^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial F}{\partial r}\Big)(r,\varphi).
       \end{align*}
\end{itemize}

\vspace{1cm}

\noindent{\bf Aufgabe 34: (4 Punkte)}
Es sei \(f:\mathbb
R^2\setminus\{0\}\to\mathbb R\) gegeben durch
\begin{align*}
  f(x,y):=x^2y^2\ln(x^2+y^2).
\end{align*}
Es ist \((1,1,\ln 2)\in\Graph(f):=\{(x,y,f(x,y))\,|\ (x,y)\in\mathbb
R^2\setminus\{0\}\}\). 
\begin{itemize}
\item[a)] Stellen die Tangentialebene an \(\Graph(f)\)
in diesem Punkt als Graph einer Funktion \(\ell:\mathbb R^2\to\mathbb
R\) dar.
\item[b)] Approximieren Sie \(\Graph(f)\) in der N\"ahe von
\((1,1,\ln 2)\) durch den Graph eines Polynoms 2. Grades in \(x\)
und \(y\). (Hinweis: Taylor).
\end{itemize}

\newpage

\ %

\vspace{3cm}


\noindent{\bf Aufgabe 35: (4 Punkte)}  Eine Funktion \(u:\mathbb
R^2\supset U\to\mathbb R\) hei\ss t {\it 
  harmonisch}, falls \(u\) aus \(C^2(U)\) ist und die
Gleichung \(\Delta u=\frac{\partial^2 u}{\partial
  x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0\) erf\"ullt ist.

Sei \(f=u+iv:\mathbb C\supset U\to\mathbb C\) {\it komplex}
differenzierbar, und \(u,v\in C^2(U,\mathbb R)\) (hier interpretieren wir
\(u(x+iy)=u(x,y), v(x+iy)=v(x,y)\)). Zeigen Sie, da\ss\ \(u\) und
\(v\) harmonisch sind.


\ %

\vspace{1cm}

\noindent{\bf Aufgabe 36: (4 Punkte)}  Sei \(f:\mathbb R^m\to\mathbb
R^n\) aus \(C^1(\mathbb R^m)\).
\begin{itemize}
\item[a)] Zeigen Sie, da\ss\
  \begin{align*}
    f(x)-f(y)=\int_0^1 \big[f'(x+t(y-x))\big](y-x)\,dt
  \end{align*}
  f\"ur alle \(x,y\in \mathbb R^m\). (Hinweis: Kettenregel).
  \item[b)] Sei \(\|A\|_{2}:=\sqrt{\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m |a_{ij}|^2}\),
    \(A=(a_{ij})\in\mathbb R^{n\times m}\). Zeigen Sie, da\ss\
    \begin{align*}
      |Ax|\leq \|A\|_2|x|
    \end{align*}
    f\"ur all \(x\in \mathbb R^m\).
   \item[c)] Zeigen Sie, da\ss\
     \begin{align*}
       \big|f(x)-f(y)\big|\leq C|x-y| \ \ \text{mit }\  
       C:=\sup_{t\in[0,1]}\|f'(x+t(y-x))\|_2
     \end{align*}
     f\"ur alle \(x,y\in \mathbb R^m\).
\end{itemize}


\vspace{1cm}

{\bf \noindent Abgabe bis Montag 20.06.2005, 11.15 Uhr in den MPIIA
\"Ubungskasten im 1.~Stock vor der Bibliothek. \\
Unter {\tt http://www.mathematik.uni-muenchen.de/$\sim$sorensen}
sind die Bl\"atter im Internet abrufbar. \\
Sprechstunden: H. Steinlein: \hspace{1cm} Mo 10-11, Zimmer 318\\
\hspace*{2.95cm} T. S\o rensen: \hspace{1.02cm} Mi 14-15, Zimmer 335}
\end{document}