\documentclass[11pt,a4paper,oneside,fleqn]{article}

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 % Neue Kommandos

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 % Umgebung fuer Saetze

 \newtheorem{satz}{Satz}%[section]
 \newtheorem{lemma}[satz]{Lemma}
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 \begin{document} 
 \pagestyle{empty}
\noindent Mathematisches Institut LMU 
\hspace{7cm} 06.06.2005\\
Prof. Dr. H. Steinlein \\
 \begin{center}

\ %

{\Large \bf {\"Ubungsblatt 8 zu MPIIA}  }
 \end{center}

\ %

\vspace{1cm}

\noindent{\bf Aufgabe 29: (4 Punkte)} Berechnen Sie die Jacobi-Matrix
und die Jacobi-Determinante der Abbildung
\begin{align*}
  F:\mathbb R^3&\to\mathbb R^3\\
  (r, \theta, \varphi)&\mapsto
  (r\sin\theta\cos\varphi,r\sin\theta\sin\varphi,r\cos\theta)
\end{align*}


% \vspace{0.5cm}


% \noindent{\bf Aufgabe 30: (4 Punkte)} Sei \(U\subset\mathbb R^n\)
% offen und \(f:U\to\mathbb R\) stetig differenzierbare Funktion. Sei
% \(x\in U\) und \(c:=f(x)\).\\\noindent
% Zeigen Sie: Ist \(N_f(c):=\{z\in U\,|\, f(z)=c\}\), so gilt f\"ur jede
% stetig differenzierbare Kurve \(\varphi:]\!-\epsilon,\epsilon\,[\to\mathbb
% R^n\) mit \(\varphi(0)=x\) und \(\varphi(\,]\!-\epsilon,\epsilon\,[\,)\subset
% N_f(c)\), da\ss\ 
% \begin{align*}
%   \langle\nabla f(x),\varphi'(0)\rangle=0,
% \end{align*}
% d.h. der Gradient \(\nabla f(x)\) steht senkrecht auf die
% Niveaufl\"ache \(N_f(c)\). 

\vspace{0.5cm}

\noindent{\bf Aufgabe 30: (4 Punkte)} Sei \(A\) eine symmetrische
\(n\times n\) Matrix mit reellen Koeffizienten. Zeigen Sie,
da\ss\ die kritischen Punkte, d.h. die Punkte mit verschwindendem
Gradienten, der Funktion 
\begin{align*}
  R: \mathbb R^n\setminus\{0\}\to\mathbb R\ , \ R(x)=\frac{\langle Ax,x\rangle}{|x|^2},
\end{align*}
genau die Eigenvektoren von \(A\) sind.



\vspace{0.5cm}

\noindent{\bf Aufgabe 31: (4 Punkte)} Sei \(f:\mathbb R^n\to\mathbb
R^n\) und \(x_0\in\mathbb R^n, k\in\mathbb N\) mit
\begin{align*}
f^k(x_0):=\underset{k}{(\underbrace{f\circ f\circ\cdots\circ
    f})}(x_0)=x_0.
\end{align*}
Sei \(f\) 
in  \(x_0,f(x_0),\ldots,f^{k-1}(x_0)\in\mathbb R^n\) total
differenzierbar. Zeigen Sie, da\ss\ 
\begin{align*}
  \det \big( (f^k)'(x_0)\big) = \det \big( (f^k)'(f(x_0))\big).
\end{align*}
Hinweis: Kettenregel.

\vspace{0.5cm}

\noindent{\bf Aufgabe 32: (4 Punkte)} Bezeichne
\(\langle\cdot,\cdot\rangle\) das Standardskalarprodukt im \(\mathbb
R^n\), d.h. \(\langle x,y\rangle=\sum_{i=1}^n x_iy_i\). 
\begin{itemize}
\item[a)] Sei \(b\in \mathbb R\) und \(a\in\mathbb R^n\). Zeigen Sie,
  da\ss\ die Funktion \(f:\mathbb R^n\to\mathbb R, f(x)=\langle
  a,x\rangle +b\) in jedem Punkt \(x_0\in\mathbb R^n\)
  differenzierbar ist mit \(f'(x_0)v=\langle a,v\rangle,
  v\in \mathbb R^n\). 
 \item[b)] Sei \(A\in\mathbb R^{n\times n}\) eine reellwertige
 Matrix. Es bezeichne \(A^T\) die zu \(A\) transponierte
 Matrix. Zeigen Sie, da\ss\ die Funktion \(f:\mathbb R^n\to\mathbb
 R\), 
 \(f(x)=\langle Ax,x\rangle\) in jedem Punkt \(x_0\in\mathbb R^n\)
  differenzierbar ist mit \(f'(x_0)v=\langle
 Ax_0+A^Tx_0,v\rangle, v\in\mathbb R^n\). 
\end{itemize}


\vspace{1cm}

{\bf \noindent Abgabe bis Montag 13.06.2005, 11.15 Uhr in den MPIIA
\"Ubungskasten im 1.~Stock vor der Bibliothek. \\
Unter {\tt http://www.mathematik.uni-muenchen.de/$\sim$sorensen}
sind die Bl\"atter im Internet abrufbar. \\
Sprechstunden: H. Steinlein: \hspace{1cm} Mo 10-11, Zimmer 318\\
\hspace*{2.95cm} T. S\o rensen: \hspace{1.02cm} Mi 14-15, Zimmer 335}
\end{document}