\documentclass[11pt,a4paper,oneside,fleqn]{article}

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 % Neue Kommandos

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 % Umgebung fuer Saetze

 \newtheorem{satz}{Satz}%[section]
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 \begin{document} 
 \pagestyle{empty}
\noindent Mathematisches Institut LMU 
\hspace{7cm} 30.05.2005\\
Prof. Dr. H. Steinlein \\
 \begin{center}

\ %

{\Large \bf {\"Ubungsblatt 7 zu MPIIA}  }
 \end{center}

\ %

\vspace{1cm}

\noindent{\bf Aufgabe 25: (4 Punkte)} Sei \(V\) die Menge aller
(reellen) Nullfolgen,
\begin{align*}
  V=\big\{a=(a_j)\in\mathbb R^{\mathbb N}\,|\,(a_j)\to0\big\},
\end{align*}
und sei 
\begin{align*}
\|a\|_\infty=\sup_{j\in\mathbb N}|a_j|\ \quad \text{f\"ur}\quad
a=(a_1,a_2,a_3,\ldots)\in V.
\end{align*}
Zeigen Sie, da\ss\ \(\|\cdot\|_\infty\) eine Norm und
\((V,\|\cdot\|_\infty)\) vollst\"andig ist.

\vspace{0.5cm}


\noindent{\bf Aufgabe 26: (4 Punkte)} Sei \((M,d)\) kompakter
metrischer Raum, und sei \(f:M\to M\) stetig mit 
\begin{align*}
  d(f(x),f(y))<d(x,y)  \text{ f\"ur
  alle } x,y\in M\,,\ x\neq y.
\end{align*}
Zeigen Sie, da\ss\ \(f\) einen eindeutigen Fixpunkt hat. (Hinweis:
Betrachten Sie die Funktion \(x\mapsto d(x,f(x))\)).

\vspace{0.5cm}

\noindent{\bf Aufgabe 27: (4 Punkte)} Sei
\(C[0,1]=\{f:[0,1]\to\mathbb R\,|\, f \text{ ist stetig }\}\) mit dem
Skalarprodukt
\begin{align*}
  \langle f,g\rangle = \int_0^1 f(x)g(x)dx\ , \ f,g\in C[0,1]
\end{align*}
versehen. Sei \(f_n(x)=e^{nx}, x\in [0,1], n\in\mathbb N\cup\{0\}\). 
\begin{itemize}
\item[a)] Berechnen Sie \(\langle f_n,f_m\rangle\) f\"ur \(n,m\in\mathbb
N\cup\{0\}\). 
\item[b)] Bilden Sie ein Orthonormalsystem aus
\(\{f_0,f_1,f_2\}\). (Hinweis: Gram-Schmidt\-verfahren). 
\end{itemize}


\vspace{0.5cm}

\noindent{\bf Aufgabe 28: (4 Punkte)} Sei \(n\in\mathbb N\), und
\(\|\cdot\|\) und \(|||\cdot|||\) zwei Normen auf \(\mathbb
R^n\). Zeigen Sie, da\ss\ \(\|\cdot\|\) und \(|||\cdot|||\)
\"aquivalent sind. (Hinweis: Vergleichen Sie mit
\(|x|_\infty:=\max_{1\leq j\leq n}|x_j|, x=(x_1,\ldots,x_n)\). Zeigen
Sie die Stetigkeit von \(\|\cdot\|:(\mathbb
R^n,|\cdot|_\infty)\to\mathbb R\) und betrachten Sie \(\|\cdot\|(S)\),
wobei \(S:=\{x\in\mathbb R^n\,|\, |x|_\infty=1\}\)).

\vspace{1cm}

{\bf \noindent Abgabe bis Montag 06.06.2005, 11.15 Uhr in den MPIIA
\"Ubungskasten im 1.~Stock vor der Bibliothek. \\
Unter {\tt http://www.mathematik.uni-muenchen.de/$\sim$sorensen}
sind die Bl\"atter im Internet abrufbar. \\
Sprechstunden: H. Steinlein: \hspace{1cm} Mo 10-11, Zimmer 318\\
\hspace*{2.95cm} T. S\o rensen: \hspace{1.02cm} Mi 14-15, Zimmer 335}
\end{document}