\documentclass[11pt,a4paper,oneside,fleqn]{article}

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 % Neue Kommandos

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 % Umgebung fuer Saetze

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 \begin{document} 
 \pagestyle{empty}
\noindent Mathematisches Institut LMU 
\hspace{7cm} 23.05.2005\\
Prof. Dr. H. Steinlein \\
 \begin{center}

\ %

{\Large \bf {\"Ubungsblatt 6 zu MPIIA}  }
 \end{center}

\ %

\vspace{1cm}

\noindent{\bf Aufgabe 21: (4 Punkte)} Es sei \((M,d)\) metrischer Raum
und sei \(N\subset M\). Wir definieren \(d_N:=d|_{N\times N}\) als die
Einschr\"ankung von \(d\) auf \(N\times N\). Zeigen Sie zun\"achst,
da\ss\ \((N,d_N)\) ein metrischer Raum ist. Wir bezeichnen die von
\((M,d)\) bzw. die von \((N,d_N)\) erzeugten Topologien mit \(\tau_M\)
bzw. \(\tau_N\). Zeigen Sie:
\begin{itemize}
\item[a)] \(U\) ist offen bez\"uglich \(\tau_N \Leftrightarrow\) es
  gibt eine bez\"uglich \(\tau_M\) offene Menge \(V\) mit \(U=V\cap
  N\). 
\item[b)] \(A\) ist abgeschlossen bez\"uglich \(\tau_N \Leftrightarrow\) es
  gibt eine bez\"uglich \(\tau_M\) abgeschlossene Menge \(B\) mit \(A=B\cap N\).
\end{itemize}


\vspace{0.5cm}


\noindent{\bf Aufgabe 22: (4 Punkte)} Sei \((M,d)\) ein metrischer
Raum, und \(K, L\subset M\) zwei nichtleere Teilmengen, so da\ss\
\(K\subset (M\setminus L)\).
\begin{itemize}
\item[a)] Sei \(K\) kompakt, und \(L\)
  abgeschlossen. Zeigen Sie, da\ss\ \(\dist(K,L)>0\). Hierbei bezeichnet
  \(\dist(K,L):=\inf\{d(x,y)\,|\,x\in K, y\in L\}\). 
 \\\noindent Hinweis: Betrachten Sie die Funktion \(\dist(\,\cdot\,,
  L):K\to\mathbb R\) von Aufgabe 18, Blatt 5.
 \item[b)] Zeigen Sie durch einen Gegenbeispiel in \(\mathbb R^2\),
 da\ss\ dieses nicht im allgemeinen gilt, wenn nur angenommen wird,
 da\ss\ \(K\) (und \(L\) wie vorher) abgeschlossen ist.
\end{itemize}

\vspace{0.5cm}

\noindent{\bf Aufgabe 23: (4 Punkte)} Es sei \(E\) ein Banachraum, \(k\in\,]0,1[\)
und \(f:E\to E\) mit
\begin{align*}
  \|f(x)-f(y)\|\leq k\|x-y\|\quad\text{f\"ur alle } x,y\in E.
\end{align*}
Zeigen Sie, da\ss\ \(\text{\it id}_E-f:E\to E\) ein Hom\"oomorphismus ist.
\\\noindent Hinweis: F\"ur beliebiges \(a\in E\) ist auch
\(f+a\) kontrahierend.
\vspace{1cm}


\noindent{\bf Aufgabe 24: (4 Punkte)} Es sei \(M:=\mathbb R^2\) versehen mit der
euklidischen Metrik \(d(x,y):=|x-y|\). Weiter sei
\(N:=\overline{K_1(0)}\). Es werden die Bezeichnungen von Aufgabe 21 
verwendet.
\begin{itemize}
\item[a)] Entscheiden Sie mit Beweis, welche der folgenden Aussagen
  f\"ur alle Teilmengen \(S\) von \(N\) wahr sind.
  \begin{itemize}
  \item[1)] \(S\) offen bez\"uglich \(\tau_N\Rightarrow S\) offen
  bez\"uglich \(\tau_M\). 
   \item[2)]\(S\) offen bez\"uglich \(\tau_M\Rightarrow S\) offen
  bez\"uglich \(\tau_N\).
\item[3)]\(S\) abgeschlossen bez\"uglich \(\tau_N\Rightarrow S\) abgeschlossen
  bez\"uglich \(\tau_M\).
\item[4)]\(S\) abgeschlossen bez\"uglich \(\tau_M\Rightarrow S\) abgeschlossen
  bez\"uglich \(\tau_N\).
  \end{itemize}
  \item[b)] Bearbeiten Sie Teilaufgabe a) f\"ur den Fall \(N:=K_1(0)\). 
\end{itemize}


\vspace{1cm}

{\bf \noindent Abgabe bis Montag 30.05.2005, 11.15 Uhr in den MPIIA
\"Ubungskasten im 1.~Stock vor der Bibliothek. \\
Unter {\tt http://www.mathematik.uni-muenchen.de/$\sim$sorensen}
sind die Bl\"atter im Internet abrufbar. \\
Sprechstunden: H. Steinlein: \hspace{1cm} Mo 10-11, Zimmer 318\\
\hspace*{2.95cm} T. S\o rensen: \hspace{1.02cm} Mi 14-15, Zimmer 335}
\end{document}