\documentclass[11pt,a4paper,oneside,fleqn]{article}

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 \begin{document} 
 \pagestyle{empty}
\noindent Mathematisches Institut LMU 
\hspace{7cm} 09.05.2005\\
Prof. Dr. H. Steinlein \\
 \begin{center}
{\Large \bf {\"Ubungsblatt 5 zu MPIIA}  }
 \end{center}

\ %

\vspace{1.5cm}

\noindent{\bf Aufgabe 17: (4 Punkte)} Man definiere
\begin{align*}
  \delta\ :\quad &\mathbb R\times\mathbb R\to\mathbb R\\
          & (x,y)\mapsto\arctan|x-y|\ 
\end{align*}
Zeigen Sie, da\ss\ \(\delta\) auf \(\mathbb R\) eine zu der
gew\"ohnlichen Betragsmetrik \"aquivalente Metrik ist.

\noindent{\it L\"osungsvorschlag:} Man bemerkt, da\ss\
\(f(t):=\arctan(t)\) eine Bijektion von \(]-\infty,\infty[\) auf
\(]-\pi/2,\pi/2[\) ist, die wegen \(f'(t)=1/(1+t^2)>0\) (Aufgabe 8,
Blatt 5) monoton wachsend ist. Ausserdem ist \(f(0)=0\). Daraus folgt:
\begin{itemize}
\item[i)]
   \(|x-y|\geq0\Rightarrow \arctan|x-y|\geq0;\ 
  \arctan|x-y|=0\Leftrightarrow |x-y|=0\Leftrightarrow x=y.\)
\item[ii)]
 \(|x-y|=|y-x|\Rightarrow \arctan|x-y|=\arctan|y-x|.\)
  \item[iii)] Sei, f\"ur \(s,t\geq0\),
   \begin{align*}
   g_s:\mathbb R_+&\to\mathbb R\\
      t&\mapsto \arctan(t)+\arctan(s)-\arctan(s+t)
    \end{align*}
  Dann ist \(g_s(0)=0,
  dg_s(t)/dt=1/(1+t^2)-1/(1+(s+t)^2)\geq0\), und damit gilt
  \(\arctan(t)+\arctan(s)-\arctan(s+t)\geq0\) f\"ur alle
  \(s,t\geq0\). Daraus folgt (weil \(|x-y|\leq|x-z|+|z-y|\), und
  \(\arctan\) monoton ist), da\ss\
  \begin{align*}
    \delta(x,y)&=\arctan|x-y|\leq\arctan\big(|x-z|+|z-y|\big)\\
   &\leq\arctan|x-z|+\arctan|z-y|=\delta(x,z)+\delta(z,y).
  \end{align*}
\end{itemize}

Damit ist \(\delta\) ein Metrik.

Um zu zeigen, da\ss\ \(\delta\) zu der gew\"ohnliche Betragsmetrik
\"aquivalent ist, m\"ussen wir zeigen, da\ss\ \((\mathbb R,
|\cdot|)\) und \((\mathbb R,\delta)\) die gleichen offenen Mengen
haben. Sei also \(A\subset\mathbb R\) offen in \((\mathbb R,
|\cdot|)\). D.h., \(\forall x\in A\,\exists\epsilon=\epsilon(x)>0:
|x-y|<\epsilon\Rightarrow y\in A\).  Weil \(f\) eine monoton wachsende
Bijektion ist, und \(f(0)=0\), gibt es \(\eta>0\) mit
\(\arctan\epsilon=\eta\). Dann gilt \(\delta(x,y)<\eta\Rightarrow
\arctan|x-y|<\eta=\arctan\epsilon\Rightarrow
|x-y|<\epsilon\Rightarrow y\in A\). Also ist \(A\) auch offen in
\((\mathbb R,\delta)\). \"Ahnlich beweisst man, da\ss: \(A\) offen in
\((\mathbb R,\delta) \Rightarrow\) A offen in \((\mathbb R,
|\,\cdot\,|)\).
\vspace{1cm}

\noindent{\bf Aufgabe 18: (4 Punkte)} Sei \((X,d)\) metrischer Raum,
\(A\subset X\) und \(x\in X\setminus A\) mit \(\dist(x,A)=0\). Zeigen
Sie, da\ss\ \(x\) Randpunkt von \(A\) ist. Hierbei bezeichnet
\(\dist(x,A):=\inf\{ d(x,y) : y\in A\}\). 

\noindent{\it L\"osungsvorschlag:} \(\dist(x,A)=0\) hei\ss t,
da\ss\ \(\inf\{d(x,y)\,|\,y\in A\}=0\). Damit gilt:
\(\forall\epsilon>0\,\exists y\in A:d(x,y)<\epsilon\) (Wenn es ein
\(\epsilon_0>0\) g\"abe, so da\ss\ 
\(d(x,y)\geq\epsilon_0\) f\"ur alle \(y\in A\), dann w\"are
\(\inf\{d(x,y)\,|\,y\in A\}\geq\epsilon_0\)). Es folgt:
\(\forall\epsilon>0: K_\epsilon(x)\cap A\neq\emptyset\). Damit ist
\(x\) Ber\"uhrungspunkt von \(A\). Weil \(x\notin A\), gilt \(x\in
\overline{A}\setminus A\), also ist \(x\) Randpunkt von \(A\). 

\vspace{1cm}

\noindent{\bf Aufgabe 19: (4 Punkte)} Es sei \((X,d)\) metrischer Raum
mit der Eigenschaft, da\ss\ \(X\setminus\{x\}\) kompakt ist f\"ur alle
\(x\in X\). Zeigen Sie, da\ss\ \(X\) endlich ist.

\noindent{\it L\"osungsvorschlag:} Sei \(x\in X\), dann ist
\(X\setminus\{x\}\) abgeschlossen weil kompakt (Satz VI.2.2.). Es
folgt, da\ss\ \(\{x\}\) offen ist (weil deren Kompliment abgeschlossen
ist). Sei jetzt \(x_0\in X\). Dann ist also
\begin{align*}
  X\setminus\{x_0\}=\bigcup_{x\in X\setminus\{x_0\}}\{x\}
\end{align*}
eine \"Uberdeckung von \(X\setminus\{x_0\}\) mit offenen Mengen. Weil
\(X\setminus\{x_0\}\) kompakt ist, gibt es endlich viele Mengen,
\(\{x_1\}, \{x_2\},\ldots,\{x_k\}\), so da\ss\ 
\begin{align*}
  X\setminus\{x_0\}=\bigcup_{j=1}^k\{x_j\}.
\end{align*}
Das hei\ss t, 
  \(X=\bigcup_{j=0}^k\{x_j\}\),
also ist \(X\) endlich.
\vspace{1cm}


\noindent{\bf Aufgabe 20: (4 Punkte)} Sei \((X,d)\) metrischer Raum,
und \(A_1,A_2,A_3,\ldots\) Teilmengen von \(X\). 
\begin{enumerate}
\item[(a)] Sei \(B_n:=\bigcup_{j=1}^nA_j\). Zeigen Sie, da\ss\
\(\overline{B_n}=\bigcup_{j=1}^n\overline{A_j}\).
\item[(b)] Sei \(B:=\bigcup_{j=1}^\infty A_j\). Ziegen Sie, da\ss\
  \(\overline{B}\supset\bigcup_{j=1}^\infty\overline{A_j}\). Zeigen Sie,
  durch 
  ein Gegenbeispiel, da\ss\ Gleichheit nicht immer gilt.
\end{enumerate}

\noindent{\it L\"osungsvorschlag:} Sei allgemein,
  \(\mathcal{B}=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}\mathcal{A}_\lambda\) eine
  beliebige Vereinigung von Mengen. Dann
  ist \(\mathcal{A}_\lambda\subset\mathcal{B}\subset\overline{\mathcal{B}}\)
  f\"ur alle \(\lambda\in\Lambda\), und \(\overline{\mathcal{B}}\) ist
  abgeschlossen, also ist
  \(\overline{\mathcal{A}_\lambda}\subset\overline{\mathcal{B}}\)
  f\"ur alle \(\lambda\in\Lambda\), und damit
  \(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}\overline{\mathcal{A}_\lambda}\subset\overline{\mathcal{B}}\).
  Insbesonders ist a)
  \(\overline{B_n}\supset\bigcup_{j=1}^n\overline{A_j}\), und b)
  \(\overline{B}\supset\bigcup_{j=1}^\infty\overline{A_j}\).

  Ferner
  (zu a)), sei \(x\in\overline{B_n}\). Dann gilt: \(\forall
  m\in\mathbb N: K_{1/m}(x)\cap B_n\neq\emptyset\); sei \(x_m\in
  K_{1/m}(x)\cap B_n\). Weil \(B_n=\bigcup_{j=1}^nA_j\) gibt es f\"ur
  jedes \(m\in\mathbb N\) ein \(j=j(m)\) so da\ss\ \(x_m\in
  A_j\). Daher gibt es (weil es nur endlich viele \(A_j\)'s gibt) ein
  \(A_{j_0}\) und eine Teilfolge
  \(\{x_{m_k}\}\subset\{x_{m}\}_{m\in\mathbb N}\), so da\ss\
  \(x_{j_k}\in A_{j_0}, d(x_{j_k},x)<1/j_{k}\). Also gilt \(x\in
  \overline{A_{j_0}}\). Das hei\ss t,
  \(\overline{B_n}\subset\bigcup_{j=1}^n\overline{A_j}\), und damit
  \(\overline{B_n}=\bigcup_{j=1}^n\overline{A_j}\).

  Zu b), sei \(A_j:=\,]1/j,1], j\in\mathbb N\), und
  \(B=\bigcup_{j=1}^\infty A_j\). Dann ist \(B=\,]0,1]\), und
  \(\overline{B}=[0,1]\), aber \(\overline{A_j}=[1/j,1]\), und damit
  \(\bigcup_{j=1}^\infty\overline{A_j}=\,]0,1]\neq\overline{B}\). 

\ %

\vspace{3cm}


{\bf \noindent Abgabe bis \underline{{\it Donnerstag 19.05.2005}}, {\it 11.15} Uhr in den MPIIA
\"Ubungskasten im 1.~Stock vor der Bibliothek. \\
Unter {\tt http://www.mathematik.uni-muenchen.de/$\sim$sorensen}
sind die Bl\"atter im Internet abrufbar. \\
Sprechstunden: H. Steinlein: \hspace{1cm} Mo 10-11, Zimmer 318\\
\hspace*{2.95cm} T. S\o rensen: \hspace{1.02cm} Mi 14-15, Zimmer 335}
\end{document}